Теория статистического вывода. Харченко М.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
ные совокупности имеют неодинаковые показатели рассеяния.
Схема вычислений. Обе выборки объединяются в единый вариацион-
ный ряд с отметкой принадлежности каждого члена ряда к соответствую -
щей выборке и производится ранжирование членов ряда. Экстремальные
члены вариационного ряда (самые большие и самые малые значения) по-
лучают меньшие ранговые значения, а средние члены общего вариацион-
ного ряда — наивысшие ранги :
– ранг 1 приписывают минимальному члену ряда,
– ранг 2 — максимальному,
– ранг 3 — предыдущему наибольшему значению ряда;
– ранг 4 приписывается второму по малости члену ряда;
– ранг 5 приписывается третьему по малости члену ряда и т. д.
Одинаковым значениям вариационного ряда присваиваются одина-
ковые ранги , равные среднему арифметическому.
Далее подсчитываются суммы рангов каждой выборки R
1
и R
2
. В ка-
честве проверки правильности вычислений используется соотношение:
R
1
+ R
2
= ½ (n
1
+ n
2
) (n
1
+ n
2
+ 1).
Статистикой критерия является величина:
(
)
()
1
1
12
1
2
1
2
1
++
−++−
=
yxyx
yxx
nnnn
nnnR
z
.
Индексом х обозначена выборка меньшего объема, R — ее ранговая
сумма. В случае равенства объемов выборок за R принимают наименьшую
из двух сумм рангов. Данная случайная величина обладает симметричным
распределением с математическим ожиданием M ( R ) =
2
1
n
x
(n
x
+ n
y
+ 1) и
дисперсией σ
2
( R ) =
12
1
n
x
n
y
(n
x
+ n
y
+ 1), поэтому распределение нормиро-
ванной величины z уже при n > 9 удовлетворительно описывается нор-
мальным законом.
Проверка нулевой гипотезы о равенстве показателей рассеяния осу -
ществляется путем сравнения вычисленной величины z с квантилями нор-
мального распределения z
1–α/2
(для α = 0,05 значение квантиля равно 1,960;
для α = 0,01: z
1-α/2
= 2,576).
При попадании эмпирического значения z в область допустимых
значений (z ≤ z
1–α/2
), нулевая гипотеза о равенстве показателей рассеяния
исследуемых генеральных совокупностей не отвергается .
Если же эмпирическое значение z попадает в критическую область
( z > z
1– α/2
), нулевая гипотеза отвергается , принимается альтернативная .
Пример 3.2. 20 участников психотерапевтической группы «Последняя надежда»
в течение месяца строго выполняли рекомендации терапевта для того , чтобы хоть не-
много похудеть . Результаты их усилий в кг приведены ниже:
Мужчины : 1,17 1,39 1,60 2,53 2,74 3,18 3,91 4,06 4,47 7,92 (кг). 
                                         26

ныесовокупности и мею тнеоди наковыепоказ атели рассеяни я.
      Схема вы чи слени й. О бе выборки объеди няю тся веди ный вари аци он-
ный ряд с отметкой при надлеж ности каж дого члена ряда к соответствую -
щ ей выборке и прои з води тся ранж и ровани е членов ряда. Э кстремаль ные
члены вари аци онного ряда (самые боль ши е и самые малые з начени я) по-
лучаю т мень ши е ранговые з начени я, а средни е члены общ его вари аци он-
ного ряда— наи высши еранги :
    – ранг1 при пи сываю тми ни маль ному члену ряда,
    – ранг2 — макси маль ному,
    – ранг3 — предыдущ ему наи боль шему з начени ю ряда;
    – ранг4 при пи сывается второму по малости члену ряда;
    – ранг5 при пи сывается треть ему по малости члену рядаи т.д.
      О ди наковым з начени ям вари аци онного ряда при сваи ваю тся оди на-
ковыеранги , равныесреднему ари ф мети ческому.
      Д алее подсчи тываю тся суммы рангов каж дой выборки R1 и R2 . В ка-
чествепроверки прави ль ности вычи слени й и споль з уется соотношени е:
                      R1 + R2 = ½ (n1 + n2) (n1 + n2 + 1).
      Стати сти кой кри тери я является вели чи на:
                              R − 12 n x (n x + n y + 1) − 12
                          z=                                  .
                                  1
                                    n
                                 12 x y n  ( n x + n y + 1)
       И ндексом х обоз наченавыборкам еньш его объ ем а, R — ееранговая
сумма. В случае равенства объемов выборок з а R при ни маю тнаи мень шую
и з двух сумм рангов. Д анная случай ная вели чи наобладает си мметри чным
                                                                1
распределени ем с математи чески м ож и дани ем M(R) =            nx (nx + ny + 1) и
                                                                2
                        1
ди сперси ей σ2(R) =      nxny (nx + ny + 1), поэ тому распределени е норми ро-
                       12
ванной вели чи ны z уж е при n > 9 удовлетвори тель но опи сывается нор-
маль ным з аконом.
        Проверка нулевой ги потез ы о равенстве показ ателей рассеяни я осу-
щ ествляется путем сравнени я вычи сленной вели чи ны z с кванти лями нор-
маль ного распределени я z1– α/2 (для α = 0,05 з начени екванти ля равно 1,960;
для α = 0,01: z1-α/2 = 2,576).
        При попадани и э мпи ри ческого з начени я z в область допусти мых
з начени й (z ≤ z1– α/2), нулевая ги потез а о равенстве показ ателей рассеяни я
и сследуемыхгенераль ныхсовокупностей неотвергается.
        Е сли ж е э мпи ри ческое з начени е z попадает в кри ти ческую область
(z > z 1– α/2), нулевая ги потез аотвергается, при ни мается аль тернати вная.
       П рим ер 3.2. 20 участни ков пси хотерапевти ческой группы «Последняя надеж да»
в течени е месяца строго выполняли рекомендаци и терапевта для того, чтобы хоть не-
много похудеть . Рез уль таты и х уси ли й вкгпри ведены ни ж е:
       М уж чи ны : 1,17 1,39 1,60 2,53 2,74 3,18 3,91 4,06 4,47 7,92 (кг).

Страницы