Теория статистического вывода. Харченко М.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
КРИТЕРИИ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВЫБОРОК
§ 9. Критерий Бартлета
Назначение. Параметрический критерий Бартлета позволяет срав-
нить несколько выборочных дисперсий в случае, если исследуемая харак -
теристика имеет нормальное распределение в популяции.
Ограничения :
4 нормальное распределение признака в исследуемой популяции;
4 n
i
> 4: объем каждой выборки должен быть больше четырех.
Описание критерия. Из m нормально распределенных генеральных
совокупностей извлечены независимые выборки объемами n
i
(i = 1– m). По
результатам исследования подсчитаны оценки дисперсий
2
i
s
. Требуется
сравнить эти дисперсии.
Нулевая гипотеза h
0
состоит в том, что указанные выборки принад-
лежат генеральным совокупностям с одинаковыми генеральными диспер -
сиями :
222
2
2
1
... σσσσ ====
m
.
Альтернативная гипотеза h
1
состоит в том, что указанные выборки
принадлежат генеральным совокупностям с разными дисперсиями .
Статистикой критерия Бартлета является случайная величина B :
C
V
B =
,
⋅−⋅=
∑
=
m
i
ii
sdfsdfV
1
22
lglg 3026,2 ;
()
−
−
+=
∑
dfdfm
C
m
i=
i
11
1 3
1
1
1
.
Здесь : df
i
= n
i
– 1 — число степеней свободы i –й выборки , df — сумма чи -
сел степеней свободы :
()
mNmnndfdf
m
i
i
m
i
i
m
i
i
−=−
=−==
∑∑∑
=== 111
1 ,
∑
=
=
m
i
i
nN
1
— общее количество всех исследуемых испытуемых (сумма
объемов выборок), m — количество выборок,
2
i
s — выборочные диспер -
сии, s
2
— среднее арифметическое выборочных дисперсий, взвешенное по
числам степеней свободы :
()
mN
sn
df
sdf
s
m
i
ii
m
i
ii
−
⋅−
=
⋅
=
∑∑
== 1
2
1
2
2
1
.
Эмпирическое значение B сравнивается с критическим значением
распределения «хи–квадрат» χ
α
2
( m – 1), найденным для выбранного уровня 
                                             28

       К РИ Т Е РИ И Д Л Я Н Е С К О Л ЬК И Х В Ы Б О РО К

       § 9. К ритерий Б артлета
       Н азначени е. Параметри чески й кри тери й Бартлета поз воляет срав-
ни ть несколь ко выборочных ди сперси й в случае, если и сследуемая харак-
тери сти каи меетнормаль ноераспределени евпопуляци и .
       О гр ани чени я :
 4 норм альное распред еление при з накави сследуемой популяци и ;
 4 ni > 4: объем каж дой выборки долж енбыть боль шечетырех.
       О п и сани е кр и т ер и я . И з m нормаль но распределенных генераль ных
совокупностей и з влечены нез ави си мые выборки объемами ni (i = 1– m). По
рез уль татам и сследовани я подсчи таны оценки ди сперси й si2 . Т ребуется
сравни ть э ти ди сперси и .
       Н улевая ги потез а h0 состои т в том, что указ анные выборки при над-
леж ат генераль ным совокупностям с оди наковыми генераль ными ди спер-
си ями : σ 12 = σ 22 = ... = σ m2 = σ 2 .
       А ль тернати вная ги потез а h1 состои т в том, что указ анные выборки
при надлеж атгенераль ным совокупностям сраз ными ди сперси ями .
       Стати сти кой кри тери я Бартлетаявляется случай ная вели чи наB:
                                                    V
                                               B= ,
                                                    C
                                                            m
                                                                        
                           V = 2,3026  df ⋅ lg s − ∑ df i ⋅ lg s i2  ;
                                                      2

                                                           i =1        
                                              1        m
                                                               1  1 
                                  C =1+              ∑         −  .
                                          3 (m − 1)  i=1 df i df 
Здесь : dfi = ni – 1 — чи сло степеней свободы i– й выборки , df — сумма чи -
селстепеней свободы:
                              m         m
                                                         m 
                     df = ∑ df i = ∑ (ni − 1) =  ∑ ni  − m = N − m ,
                             i =1      i =1              i=1 
     m
N = ∑ ni —      общ ее коли чество всех и сследуемых и спытуемых (сумма
     i =1

объемов выборок), m — коли чество выборок, s i2 — выборочные ди спер-
си и , s2 — среднееари ф мети ческое выборочных ди сперси й , вз вешенное по
чи слам степеней свободы:
                               m                  m

                               ∑ dfi ⋅ si2
                               i =1
                                                  ∑ (n
                                                  i =1
                                                         i   − 1) ⋅ si2
                        s2 =                 =       .
                                df           N −m
     Э мпи ри ческое з начени е B сравни вается с кри ти чески м з начени ем
распределени я «хи – квадрат»χ α2(m – 1), най денным для выбранного уровня

Страницы