Теория статистического вывода. Харченко М.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

41
Нулевая гипотеза h
0
заключается в однородности всех генеральных
совокупностей , из которых извлечены выборки , т.е. гипотеза о равенстве
математических ожиданий и дисперсий всех генеральных совокупностей :
а
1
= а
2
= … = а
m
= а,
222
2
2
1
... σσσσ ====
m
.
Нулевая гипотеза h
0
— это гипотеза о том, что различия между условиями
изучаемого фактора являются не более выраженными , чем случайные раз -
личия внутри каждой выборки .
Альтернативная гипотеза h
1
состоит в том, что исследуемые выборки
не являются однородными .
Схема вычислений. 1. Проверка нормальности распределения резуль -
тативного признака (с помощью неравенств Чебышева или критериев со -
гласия, например , критерия χ
2
Пирсона). Дисперсионный анализ очень
чувствителен к отклонениям от нормального закона, поэтому дальнейшие
вычисления проводятся только в случае подтверждения нормальности .
2. Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий
222
2
2
1
... σσσσ ====
m
(с помощью критериев Хартлея , Кочрена или Барт-
лета). Дальнейшие вычисления проводятся только в случае подтверждения
однородности дисперсий.
3. Расчет полной (общей ) дисперсии s
2
.
Полная (общая ) дисперсия s
2
характеризует общую вариативность
изучаемого признака и вычисляется по результатам испытуемых всех m
групп . Для расчета полной дисперсии составляется расчетная таблица
(табл. 11), в контрольную строку которой записываются суммы второго ,
третьего и пятого столбцов. Здесь введены следующие обозначения: x
k
—
значения изучаемой характеристики , n
k
— их частоты , N — общее количе -
ство всех испытуемых:
∑
=
k
k
nN ,
x
— выборочное общее среднее:
∑
=
k
kk
nx
N
x
1
,
SS — сумма квадратов индивиду -
альных значений (обозначение от
англ. “ sum of squares”):
∑
−=
k
kk
nxxSS
2
)( ,
df = N – 1 — число степеней сво -
боды .
Таблица 11
Расчет полной (общей ) дисперсии
x
k
n
k
x
k
n
k
x
k
–
x
(x
k
–
x
)
2
n
k
¬ ® ¯ °
x
1
n
1
x
1
n
1
x
1
–
x
(x
1
–
x
)
2
n
1
x
2
n
2
x
2
n
2
x
2
–
x
(x
2
–
x
)
2
n
2
… … … … …
N
Σ
SS
Полная (общая ) дисперсия вычисляется по формуле :
df
SS
nxx
N
s
k
kk
=−
−
=
∑
22
)(
1
1
.
4. Нахождение компонентов дисперсии. В однофакторном дисперси -
онном анализе полная (общая ) дисперсия раскладывается на две состав-
                                        41

       Н улевая ги потез а h0 з аклю чается в однородности всех генераль ных
совокупностей , и з которых и з влечены выборки , т.е. ги потез а о равенстве
математи чески хож и дани й и ди сперси й всехгенераль ныхсовокупностей :
              а1 = а2 = … = аm = а,              σ 12 = σ 22 = ... = σ m2 = σ 2 .
Н улевая ги потез а h0 — э то ги потез ао том, что раз ли чи я меж ду услови ями
и з учаемого ф актора являю тся не более выраж енными , чем случай ные раз -
ли чи я внутри каж дой выборки .
        А ль тернати вная ги потез аh1 состои твтом, что и сследуемые выборки
неявляю тся однородными .
        Схема вы чи слени й. 1. Проверка нормаль ности распределени я рез уль -
тати вного при з нака (с помощ ь ю неравенств Ч ебышева и ли кри тери ев со-
гласи я, напри мер, кри тери я χ 2 П и рсона). Д и сперси онный анали з очень
чувстви телен к отклонени ям от нормаль ного з акона, поэ тому даль ней ши е
вычи слени я проводятся толь ко вслучаеподтверж дени я нормаль ности .
        2. Проверка ги потез ы о равенстве генераль ных ди сперси й
σ 1 = σ 22 = ... = σ m2 = σ 2 (с помощ ь ю кри тери ев Х артлея, К очрена и ли Барт-
   2

лета). Д аль ней ши е вычи слени я проводятся толь ко в случаеподтверж дени я
однородности ди сперси й .
       3. Расчетполной (общ ей ) ди сперси и s 2.
       Полная (общ ая) ди сперси я s 2 характери з ует общ ую вари ати вность
и з учаемого при з нака и вычи сляется по рез уль татам и спытуемых всех m
групп. Д ля расчета полной ди сперси и составляется расчетная табли ца
(табл. 11), в контроль ную строку которой з апи сываю тся суммы второго,
треть его и пятого столбцов. Здесь введены следую щ и е обоз начени я: x k —
з начени я и з учаемой характери сти ки , nk — и хчастоты, N — общ ееколи че-
ство всех и спытуемых: N = ∑ nk , x — выборочноеобщ еесреднее:
                                k
                 1                                                           Т аблица11
            x=
                N k
                   ∑ xk n k ,                  Р асчет п о лно й (о б щей) ди сп ер си и

SS — сумма квадратов и нди ви ду-             xk    nk    xk nk   xk – x   (xk – x )2 nk
аль ных з начени й (обоз начени е от          ¬     ­       ®        ¯           °
                                              x1    n1    x1 n1   x1 – x   (x 1 – x )2 n1
англ. “ sum of squares” ):
                                              x2    n2    x2 n2   x2 – x   (x 2 – x )2 n2
          SS = ∑ ( xk − x ) 2 nk ,            …     …      …        …            …
                 k
df = N – 1 — чи сло степеней сво-                   N      Σ                    SS
боды.
      Полная (общ ая) ди сперси я вычи сляется по ф ормуле:
                             1                        SS
                       s2 =
                            N −1 k
                                  ∑ ( xk − x ) 2 nk =
                                                      df
                                                         .

     4. Н ахож дени екомпонентов ди сперси и . В одноф акторном ди сперси -
онном анали з е полная (общ ая) ди сперси я раскладывается на две состав-

Страницы