Теория статистического вывода. Харченко М.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

48
§ 15. Критерий Краскела–Уоллиса
Назначение. Ранговый критерий Краскела–Уоллиса является непа-
раметрическим аналогом однофакторного дисперсионного анализа и по-
зволяет проверить гипотезу о принадлежности нескольких выборок единой
генеральной совокупности в случае, если распределение исследуемой ха-
рактеристики в популяции отличается от нормального или информация о
законе распределения отсутствует.
Ограничения :
4 m > 3: количество сравниваемых выборок должно быть больше трех
( для трех выборок необходимо использовать попарное сравнение с помо-
щью критерия Манна–Уитни );
4 n
i
> 5: объем каждой выборки должен быть больше пяти .
Описание критерия . Из m генеральных совокупностей извлечены не-
зависимые выборки объемами n
i
. В результате исследования получены чи -
словые значения изучаемого показателя в исследуемых выборках. Требу-
ется сравнить выборочные показатели .
Нулевая гипотеза h
0
состоит в том, что все m выборок принадлежат
единой генеральной совокупности , т.е. имеют тождественные функции
распределения: F
1
(x) = F
2
(x) = … = F
m
(x).
Альтернативная гипотеза h
1
состоит в том, что указанные выборки
принадлежат различным генеральным совокупностям.
Схема вычислений. Все
∑
=
=
m
i
i
nN
1
выборочных значений объединя -
ются в единый вариационный ряд с отметкой принадлежности каждого
члена ряда к соответствующей выборке и производится обыкновенное
ранжирование членов ряда (меньшие значения получают меньшие ранги ).
Одинаковым значениям общего вариационного ряда присваиваются оди -
наковые ранги , равные среднему арифметическому. Затем подсчитываются
суммы рангов каждой выборки R
i
. Правильность подсчета сумм рангов
контролируется по формуле :
()
1
2
1
1
+=
∑
=
NNR
m
i
i
.
Статистикой критерия Краскела–Уоллиса служит величина:
()
()
13
1
12
1
2
+−
+
=
∑
=
N
n
R
NN
H
m
i
i
i
.
При равных объемах выборок (n
1
= n
2
= … = n
m
= N / m) статистику H
удобнее вычислять по формуле :
()
()
13
1
12
1
2
2
+−
+
=
∑
=
NR
NN
m
H
m
i
i
. 
                                          48

      § 15. К ритерий К раскела–У оллиса
        Н азначени е. Ранговый кри тери й К раскела– У олли са является непа-
раметри чески м аналогом одноф акторного ди сперси онного анали з а и по-
з воляетпровери ть ги потез у о при надлеж ности несколь ки х выборок еди ной
генераль ной совокупности в случае, если распределени е и сследуемой ха-
рактери сти ки в популяци и отли чается от нормаль ного и ли и нф ормаци я о
з аконераспределени я отсутствует.
        О гр ани чени я :
  4 m > 3: коли чество сравни ваемых выборок долж но быть боль ше трех
(для трех выборок необходи мо и споль з овать попарное сравнени е с помо-
щ ь ю кри тери я М анна– У и тни );
  4 ni > 5: объем каж дой выборки долж енбыть боль шепяти .
        О п и сани е кр и т ер и я . И з m генераль ных совокупностей и з влечены не-
з ави си мые выборки объемами ni . В рез уль тате и сследовани я получены чи -
словые з начени я и з учаемого показ ателя в и сследуемых выборках. Т ребу-
ется сравни ть выборочныепоказ атели .
        Н улевая ги потез а h0 состои т в том, что все m выборок при надлеж ат
еди ной генераль ной совокупности , т.е. и мею т тож дественные ф ункци и
распределени я: F1(x) = F2(x) = … = Fm(x).
        А ль тернати вная ги потез а h1 состои т в том, что указ анные выборки
при надлеж атраз ли чным генераль ным совокупностям.
                                         m
      Схема вы чи слени й. В се N = ∑ ni выборочных з начени й объеди ня-
                                         i =1
ю тся в еди ный вари аци онный ряд с отметкой при надлеж ности каж дого
члена ряда к соответствую щ ей выборке и прои з води тся обыкновенное
ранж и ровани е членов ряда (мень ши е з начени я получаю т мень ши е ранги ).
О ди наковым з начени ям общ его вари аци онного ряда при сваи ваю тся оди -
наковыеранги , равныесреднему ари ф мети ческому. Затем подсчи тываю тся
суммы рангов каж дой выборки Ri . Прави ль ность подсчета сумм рангов
контроли руется по ф ормуле:
                                 m
                                     Ri = N ( N + 1) .
                                         1
                               ∑i =1     2
       Стати сти кой кри тери я К раскела– У олли саслуж и твели чи на:
                              12  m Ri2   
                        H=             ∑   − 3( N + 1) .
                           N ( N + 1)  i =1 n i
                                            
     При равныхобъемах выборок (n1 = n2 = … = nm = N / m) стати сти ку H
удобнеевычи слять по ф ормуле:
                           12m  m 2 
                    H= 2             ∑ Ri  − 3( N + 1) .
                         N ( N + 1)  i =1  

Страницы