Теория статистического вывода - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
340,5
20
41,11
093,2)(
=⋅=⋅=
n
s
dftx
сл
α
Δ
мс.
Значение коэффициента Стьюдента t
0,05
(19) = 2,093 берется из таблицы II для уровня
значимости α = 1 – P = 1 – 0,95 = 0,05 и числа степеней свободы df = n – 1 = 19. Инст-
рументальная ошибка равна 0,5 мс – половине шкалы деления прибора; ею можно пре-
небречь ввиду того, что она меньше случайной ошибки более чем в 10 раз. Итак, дове-
рительный интервал для математического ожидания равен
a = (453,0 ± 5,3) мс, α = 0,05.
Доверительный интервал для
генеральной дисперсии рассчитывается по фор-
муле
2
2/1
2
2
2/
αα
χ
σ
χ
−
<<
SSSS
,
в которой учтено, что сумма квадратов
SS (сумма столбца i) равна произведению дис-
персии на число степеней свободы:
dfsSS ⋅=
2
. Критические значения χ
2
берутся в
таблице распределения «хи-квадрат» (табл. III) для уровней значимости
α/2 = 0,025 и
1 – α/2 = 0,975 и числа степеней свободы
df = n – 1 = 19:
907,8
2412
852,32
2412
2
<<
σ
;
73,42 <
σ
2
< 270,80 мс
2
, α = 0,05.
Доверительный интервал для
генерального среднего квадратического откло-
нения находится путем извлечения квадратного корня из обоих концов интервала:
8,57 <
σ < 16,46 мс, α = 0,05.
Для вычисления выборочных показателей
асимметрии и эксцесса используем
значения контрольных строк
j и k:
()
373,0
)41,11(20
11088
1
3
3
3
=
⋅
=⋅−=
∑
i
ii
nxx
ns
A .
()
625,03
)9,126(20
764844
3
1
2
4
4
−=−
⋅
=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−=
∑
i
ii
nxx
ns
E
.
Выборочное
среднее геометрическое
G
x находится путем нахождения экспо-
ненты от частного контрольных строк столбцов
и g (объема выборки n):
9,452
20
312,122
exp)ln(
1
exp
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑
⋅=
=
n
i
iiG
xn
n
x мс.
§ 4. Точность результатов измерений
Следует отчетливо представлять себе, что ни одно измерение не мо-
жет быть выполнено абсолютно точно: результаты всех измерений, как
прямых, так и косвенных, производятся с ошибками (погрешностями), по-
этому они всегда представлены не точными, а приближенными числами.
При обработке результатов измерений необходимо помнить, что за-
вышать или занижать точность косвенных измерений за счет завышения
или занижения точности вычислений нельзя. Завышение точности вычис-
лений (получение результата с бóльшим, чем следует, числом значащих
цифр) создает ложное впеч
атление о большей точности измерений. 
                                        s            11,41
                       Δxсл = tα (df ) ⋅   = 2,093 ⋅       = 5,340 мс.
                                         n             20
Значение коэффициента Стьюдента t0,05(19) = 2,093 берется из таблицы II для уровня
значимости α = 1 – P = 1 – 0,95 = 0,05 и числа степеней свободы df = n – 1 = 19. Инст-
рументальная ошибка равна 0,5 мс – половине шкалы деления прибора; ею можно пре-
небречь ввиду того, что она меньше случайной ошибки более чем в 10 раз. Итак, дове-
рительный интервал для математического ожидания равен
                              a = (453,0 ± 5,3) мс, α = 0,05.
      Доверительный интервал для генеральной дисперсии рассчитывается по фор-
муле
                                     SS              SS
                                           <σ 2 < 2      ,
                                      2
                                        χα / 2             χ1−α / 2
в которой учтено, что сумма квадратов SS (сумма столбца �) равна произведению дис-
персии на число степеней свободы: SS = s 2 ⋅ df . Критические значения χ2 берутся в
таблице распределения «хи-квадрат» (табл. III) для уровней значимости α/2 = 0,025 и
1 – α/2 = 0,975 и числа степеней свободы df = n – 1 = 19:
                                     2412         2412
                                           <σ 2 <       ;
                                    32,852        8,907
                             73,42 < σ2 < 270,80 мс2, α = 0,05.
        Доверительный интервал для генерального среднего квадратического откло-
нения находится путем извлечения квадратного корня из обоих концов интервала:
                               8,57 < σ < 16,46 мс, α = 0,05.
        Для вычисления выборочных показателей асимметрии и эксцесса используем
значения контрольных строк � и �:
                           1                                 11088
                                 ∑ (x       − x ) ⋅ ni =
                                                 3
                     A=                 i                                 = 0,373 .
                          ns 3   i                         20 ⋅ (11,41) 3
                   ⎛ 1                    ⎞         764844
              E = ⎜⎜ 4 ∑ ( xi − x ) ⋅ ni ⎟⎟ − 3 =
                                   4
                                                                 − 3 = −0,625 .
                   ⎝ ns i                 ⎠       20 ⋅ (126,9) 2
      Выборочное среднее геометрическое xG находится путем нахождения экспо-
ненты от частного контрольных строк столбцов � и � (объема выборки n):
                           ⎛1 n              ⎞      ⎛ 122,312 ⎞
                   xG = exp⎜ ∑ (ni ⋅ ln xi ) ⎟ = exp⎜         ⎟ = 452,9 мс.
                           ⎝ n i =1          ⎠      ⎝ 20 ⎠

      § 4. Точность результатов измерений
     Следует отчетливо представлять себе, что ни одно измерение не мо-
жет быть выполнено абсолютно точно: результаты всех измерений, как
прямых, так и косвенных, производятся с ошибками (погрешностями), по-
этому они всегда представлены не точными, а приближенными числами.
     При обработке результатов измерений необходимо помнить, что за-
вышать или занижать точность косвенных измерений за счет завышения
или занижения точности вычислений нельзя. Завышение точности вычис-
лений (получение результата с бóльшим, чем следует, числом значащих
цифр) создает ложное впечатление о большей точности измерений.
                                                           14

Страницы