Теория статистического вывода - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
Если эмпирическое значение F попадает в область допустимых зна-
чений критерия Фишера, то есть если выполняется условие
F ≤ F
α
(df
1
, df
2
),
то нулевая гипотеза о равенстве двух генеральных дисперсий не отвергает-
ся. В этом случае обе выборки могут быть объединены в одну, и по двум
выборочным дисперсиям можно оценить генеральную дисперсию σ
2
(
)
(
)
2
1 1
21
2
22
2
11
21
2
22
2
11
2
−+
−+−
=
+
⋅+⋅
=
nn
snsn
dfdf
sdfsdf
s ,
которая затем может быть использована для построения доверительных
интервалов:
2
2/1
22
2
2/
2
αα
χ
σ
χ
−
<<
df
s
df
s ,
где df = df
1
+ df
2
= n
1
+ n
2
– 2 – число степеней свободы, χ
2
– критические
значения распределения Пирсона «хи–квадрат» для уровней значимости
α/2 и 1 – α/2 находится по статистическим таблицам.
Если эмпирическое значение критерия попадает в критическую об-
ласть критерия, то есть если F > F
α
(df
1
, df
2
), нулевая гипотеза отвергается,
принимается альтернативная.
Пример III.1. Исследование познавательной активности 30 учащихся средней
школы и 20 учащихся гуманитарного лицея показало, что ее средний уровень равен 401
и 409, а дисперсия – 71 и 82 соответственно в обоих учебных заведениях. Предполагая,
что уровень познавательной активности в популяции имеет нормальный закон распре-
деления, требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий познава-
тельной активности учащихся школы и лицея h
0
:
22
л
2
ш
σσσ
== .
Решение
. Предположение о нормальном законе распределения познавательной
активности в популяции позволяет использовать критерий Фишера для проверки нуле-
вой гипотезы.
Эмпирическое значение критерия – отношение бόльшей выборочной дисперсии
(у учащихся гуманитарного лицея) к меньшей:
155,1
71
82
2
ш
2
л
===
s
s
F .
Критические значения F
α
(df
л
, df
ш
) определяем по статистическим таблицам рас-
пределения Фишера. На первое место ставим число степеней свободы для выборки с
большей дисперсией – это учащиеся гуманитарного лицея (df = 19), а не средней школы
(df = 29):
F
0,05
(19, 29) = 1,958; F
0,01
(19, 29) = 2,599.
h
0
? h
1
⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯→
1,155 1,958 2,599
F
Сопоставив эмпирическое и критические значения, обнаруживаем, что эмпири-
ческое значение статистики попадает в область допустимых значений, следовательно,
нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий не отвергается, а разброс позна-
вательной активности школьников обоих учебных заведений обусловлен случайными 
      Если эмпирическое значение F попадает в область допустимых зна-
чений критерия Фишера, то есть если выполняется условие
                                 F ≤ Fα(df1, df2),
то нулевая гипотеза о равенстве двух генеральных дисперсий не отвергает-
ся. В этом случае обе выборки могут быть объединены в одну, и по двум
выборочным дисперсиям можно оценить генеральную дисперсию σ2
                    df1 ⋅ s12 + df 2 ⋅ s 22 (n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22
                s =
                 2
                                           =                             ,
                         df1 + df 2                n1 + n2 − 2
которая затем может быть использована для построения доверительных
интервалов:
                                df                  df
                            s2 2 < σ 2 < s2 2             ,
                               χα / 2            χ 1−α / 2
где df = df1 + df2 = n1 + n2 – 2 – число степеней свободы, χ2 – критические
значения распределения Пирсона «хи–квадрат» для уровней значимости
α/2 и 1 – α/2 находится по статистическим таблицам.
      Если эмпирическое значение критерия попадает в критическую об-
ласть критерия, то есть если F > Fα(df1, df2), нулевая гипотеза отвергается,
принимается альтернативная.
        Пример III.1. Исследование познавательной активности 30 учащихся средней
школы и 20 учащихся гуманитарного лицея показало, что ее средний уровень равен 401
и 409, а дисперсия – 71 и 82 соответственно в обоих учебных заведениях. Предполагая,
что уровень познавательной активности в популяции имеет нормальный закон распре-
деления, требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий познава-
тельной активности учащихся школы и лицея h0: σ ш2 = σ л2 = σ 2 .
        Решение. Предположение о нормальном законе распределения познавательной
активности в популяции позволяет использовать критерий Фишера для проверки нуле-
вой гипотезы.
        Эмпирическое значение критерия – отношение бόльшей выборочной дисперсии
(у учащихся гуманитарного лицея) к меньшей:
                                        s л2 82
                                    F= 2 =      = 1,155 .
                                        s ш 71
        Критические значения Fα(dfл, dfш) определяем по статистическим таблицам рас-
пределения Фишера. На первое место ставим число степеней свободы для выборки с
большей дисперсией – это учащиеся гуманитарного лицея (df = 19), а не средней школы
(df = 29):
                      F0,05(19, 29) = 1,958; F0,01(19, 29) = 2,599.
                         h0       ?       h1
                    ⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯→
                     1,155  1,958   2,599    F
      Сопоставив эмпирическое и критические значения, обнаруживаем, что эмпири-
ческое значение статистики попадает в область допустимых значений, следовательно,
нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий не отвергается, а разброс позна-
вательной активности школьников обоих учебных заведений обусловлен случайными

                                            24

Страницы