Теория статистического вывода - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
– ранг 2 – максимальному,
– ранг 3 – предыдущему наибольшему значению ряда;
– ранг 4 приписывается второму по малости члену ряда;
– ранг 5 приписывается третьему по малости члену ряда и т.д.
Одинаковым значениям вариационного ряда присваиваются одина-
ковые ранги, равные среднему арифметическому.
Далее подсчитываются суммы рангов каждой выборки R
1
и R
2
. В ка-
честве проверки правильности вычислений используется соотношение
R
1
+ R
2
= ½ (n
1
+ n
2
) (n
1
+ n
2
+ 1).
Статистикой критерия
является величина:
)1(
)1(
12
1
2
1
2
1
++
−
+
+
−
=
бмбм
бмм
nnnn
nnnR
z
.
Индексом м обозначена выборка
меньшего объема, R – ее ранговая
сумма. В случае равенства объемов выборок за R принимают наименьшую
из двух сумм рангов. Данная случайная величина обладает симметричным
распределением с математическим ожиданием M(R) =
2
1
n
м
(n
м
+ n
б
+ 1) и
дисперсией
σ
2
(R) =
12
1
n
м
n
б
(n
м
+ n
б
+ 1), поэтому распределение нормиро-
ванной величины z уже при n > 9 удовлетворительно описывается нор-
мальным законом.
Проверка нулевой гипотезы
о равенстве показателей рассеяния осу-
ществляется путем сравнения вычисленной величины z с квантилями нор-
мального распределения z
1–
α
/2
(для
α
= 0,05 находим z
1-
α
/2
= z
0,975
= 1,960;
для
α
= 0,01: z
1-
α
/2
= z
0,995
= 2,576).
При попадании эмпирического значения z в область допустимых
значений (z ≤ z
0,975
= 1,960), нулевая гипотеза о равенстве показателей рас-
сеяния исследуемых генеральных совокупностей не отвергается.
Если же эмпирическое значение z попадает в критическую область
(z > z
0,995
= 2,576), верной считается альтернативная гипотеза.
Пример III.2. 20 участников психотерапевтической группы «Последняя надеж-
да» в течение месяца строго выполняли рекомендации терапевта для того, чтобы хоть
немного похудеть. Результаты их усилий в кг приведены ниже:
Мужчины
: 1,17 1,39 1,60 2,53 2,74 3,18 3,91 4,06 4,47 7,92 (кг).
Женщины
: 1,60 1,65 2,07 2,86 3,85 3,92 3,99 4,78 5,22 6,76 (кг).
Требуется проверить гипотезу об однородности психотерапевтического воздей-
ствия на мужчин и на женщин (гипотезу о равенстве характеристик рассеяния). Ин-
формация о законе распределения скорости похудения в популяции отсутствует, одна-
ко известно, что гендерных различий по этой характеристике нет.
Решение
. Нулевой гипотезой h
0
является предположение о равенстве показате-
лей рассеяния скорости похудения мужчин и женщин. Альтернативная гипотеза
h
1
со-
стоит в том, что генеральные совокупности, из которых выделены мужская и женская
выборки, имеют различные показатели рассеяния. 
   –  ранг 2 – максимальному,
   –  ранг 3 – предыдущему наибольшему значению ряда;
   –  ранг 4 приписывается второму по малости члену ряда;
   –  ранг 5 приписывается третьему по малости члену ряда и т.д.
      Одинаковым значениям вариационного ряда присваиваются одина-
ковые ранги, равные среднему арифметическому.
      Далее подсчитываются суммы рангов каждой выборки R1 и R2. В ка-
честве проверки правильности вычислений используется соотношение
                     R1 + R2 = ½ (n1 + n2) (n1 + n2 + 1).
      Статистикой критерия является величина:
                              R − 12 n м (n м + nб + 1) − 12
                         z=                                    .
                                  1
                                 12   n м nб (n м + nб + 1)
      Индексом м обозначена выборка меньшего объема, R – ее ранговая
сумма. В случае равенства объемов выборок за R принимают наименьшую
из двух сумм рангов. Данная случайная величина обладает симметричным
                                                                   1
распределением с математическим ожиданием M(R) =                     nм (nм + nб + 1) и
                                                                   2
                      1
дисперсией σ2(R) =      nмnб (nм + nб + 1), поэтому распределение нормиро-
                     12
ванной величины z уже при n > 9 удовлетворительно описывается нор-
мальным законом.
       Проверка нулевой гипотезы о равенстве показателей рассеяния осу-
ществляется путем сравнения вычисленной величины z с квантилями нор-
мального распределения z1–α/2 (для α = 0,05 находим z1-α/2 = z0,975 = 1,960;
для α = 0,01: z1-α/2 = z0,995 = 2,576).
       При попадании эмпирического значения z в область допустимых
значений (z ≤ z0,975 = 1,960), нулевая гипотеза о равенстве показателей рас-
сеяния исследуемых генеральных совокупностей не отвергается.
       Если же эмпирическое значение z попадает в критическую область
(z > z0,995 = 2,576), верной считается альтернативная гипотеза.
       Пример III.2. 20 участников психотерапевтической группы «Последняя надеж-
да» в течение месяца строго выполняли рекомендации терапевта для того, чтобы хоть
немного похудеть. Результаты их усилий в кг приведены ниже:
       Мужчины: 1,17 1,39 1,60 2,53 2,74 3,18 3,91 4,06 4,47 7,92 (кг).
       Женщины: 1,60 1,65 2,07 2,86 3,85 3,92 3,99 4,78 5,22 6,76 (кг).
       Требуется проверить гипотезу об однородности психотерапевтического воздей-
ствия на мужчин и на женщин (гипотезу о равенстве характеристик рассеяния). Ин-
формация о законе распределения скорости похудения в популяции отсутствует, одна-
ко известно, что гендерных различий по этой характеристике нет.
       Решение. Нулевой гипотезой h0 является предположение о равенстве показате-
лей рассеяния скорости похудения мужчин и женщин. Альтернативная гипотеза h1 со-
стоит в том, что генеральные совокупности, из которых выделены мужская и женская
выборки, имеют различные показатели рассеяния.

                                              26

Страницы