Теория статистического вывода - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Б. КРИТЕРИИ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВЫБОРОК
§ 9. Критерий Бартлета
Назначение. Параметрический критерий Бартлета позволяет срав-
нить несколько выборочных дисперсий в случае, если исследуемая харак-
теристика измерена в сильной шкале.
Ограничения
:
1) изучаемый признак должен быть измерен в
сильной шкале;
2) объем каждой выборки должен быть больше четырех: n
i
> 4.
Описание критерия
. Из m нормально распределенных генеральных
совокупностей извлечены независимые выборки объемами n
i
(i = 1–m). По
результатам исследования подсчитаны оценки дисперсий
2
i
s . Требуется
сравнить эти дисперсии.
Нулевая гипотеза
h
0
состоит в том, что указанные выборки принад-
лежат генеральным совокупностям с одинаковыми генеральными диспер-
сиями:
222
2
2
1
...
σσσσ
====
m
.
Альтернативная гипотеза
h
1
состоит в том, что указанные выборки
принадлежат генеральным совокупностям с разными дисперсиями.
Статистикой критерия
Бартлета является случайная величина B:
C
V
B =
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅−⋅=
∑
=
m
i
ii
sdfsdfV
1
22
lglg 3026,2 ;
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+=
∑
dfdfm
C
m
i=
i
11
1 3
1
1
1
.
Здесь: df
i
= n
i
– 1 – число степеней свободы i–й выборки, df – сумма чисел
степеней свободы:
()
mNmnndfdf
m
i
i
m
i
i
m
i
i
−=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−==
∑∑∑
=== 111
1
,
∑
=
=
m
i
i
nN
1
– общее количество всех исследуемых испытуемых (сумма объ-
емов выборок), m – количество выборок,
2
i
s – выборочные дисперсии, s
2
–
среднее арифметическое выборочных дисперсий, взвешенное по числам
степеней свободы:
()
mN
sn
df
sdf
s
m
i
ii
m
i
ii
−
⋅−
=
⋅
=
∑∑
== 1
2
1
2
2
1
.
Эмпирическое значение B сравнивается с критическим значением
распределения «хи–квадрат» χ
α
2
(m – 1), найденным для выбранного уровня 
      Б. КРИТЕРИИ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВЫБОРОК

      § 9. Критерий Бартлета
      Назначение. Параметрический критерий Бартлета позволяет срав-
нить несколько выборочных дисперсий в случае, если исследуемая харак-
теристика измерена в сильной шкале.
      Ограничения:
      1) изучаемый признак должен быть измерен в сильной шкале;
      2) объем каждой выборки должен быть больше четырех: ni > 4.
      Описание критерия. Из m нормально распределенных генеральных
совокупностей извлечены независимые выборки объемами ni (i = 1–m). По
результатам исследования подсчитаны оценки дисперсий si2 . Требуется
сравнить эти дисперсии.
      Нулевая гипотеза h0 состоит в том, что указанные выборки принад-
лежат генеральным совокупностям с одинаковыми генеральными диспер-
сиями: σ 12 = σ 22 = ... = σ m2 = σ 2 .
      Альтернативная гипотеза h1 состоит в том, что указанные выборки
принадлежат генеральным совокупностям с разными дисперсиями.
      Статистикой критерия Бартлета является случайная величина B:
                                                   V
                                              B= ,
                                                    C
                                          ⎛                  m
                                                                        ⎞
                         V = 2,3026 ⎜ df ⋅ lg s − ∑ df i ⋅ lg si2 ⎟ ;
                                                     2

                                          ⎝                 i =1        ⎠
                                             1     ⎛ m 1          1 ⎞
                               C = 1+              ⎜⎜ ∑          − ⎟⎟ .
                                         3 (m − 1) ⎝ i=1 df i df ⎠
Здесь: dfi = ni – 1 – число степеней свободы i–й выборки, df – сумма чисел
степеней свободы:
                           m          m
                                                       ⎛ m ⎞
                   df = ∑ df i = ∑ (ni − 1) = ⎜ ∑ ni ⎟ − m = N − m ,
                          i =1       i =1              ⎝ i =1 ⎠
     m
N = ∑ ni – общее количество всех исследуемых испытуемых (сумма объ-
    i =1

емов выборок), m – количество выборок, si2 – выборочные дисперсии, s2 –
среднее арифметическое выборочных дисперсий, взвешенное по числам
степеней свободы:
                             m                       m

                             ∑ df   i   ⋅s   2
                                             i       ∑ (n   i   − 1) ⋅ si2
                      s2 =   i =1
                                                 =
                                                 .   i =1

                             df          N −m
     Эмпирическое значение B сравнивается с критическим значением
распределения «хи–квадрат» χα2(m – 1), найденным для выбранного уровня
                                      28

Страницы