Теория статистического вывода - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
значимости
α
и числа степеней свободы df = m – 1. Если B попадает в об-
ласть допустимых значений критерия χ
2
, то есть если выполняется условие
B ≤ χ
α
2
(m – 1),
нулевая гипотеза о равенстве всех генеральных дисперсий не отвергается.
Оценкой генеральной дисперсии σ
2
является величина s
2
, которая может
быть использована для построения доверительных интервалов
2
2/1
22
2
2/
2
αα
χ
σ
χ
−
<<
df
s
df
s ,
где число степеней свободы равно df = N – m; критические значения рас-
пределения Пирсона χ
2
находятся для уровней значимости α/2 и 1 – α/2 и
числа степеней свободы df.
В случае, когда эмпирическое значение B попадает в критическую
область критерия, то есть когда B > χ
α
2
(m – 1), нулевая гипотеза о равенст-
ве генеральных дисперсий отвергается и принимается альтернативная.
Замечания
. 1. Не следует торопиться вычислять константу С! Снача-
ла надо найти величину V и сравнить с критическим значением χ
α
2
(m – 1).
Если V попадает в область допустимых значений, то есть если выполняется
условие V ≤ χ
α
2
(m – 1), то и B также попадет в область допустимых значе-
ний, т.к. С > 1. Если же окажется, что V > χ
α
2
(m – 1), надо вычислить С,
найти B и сравнить его с критическим значением χ
α
2
(m – 1).
2. Если объемы всех выборок одинаковые, предпочтительнее пользо-
ваться критериями Хартлея или Кочрена.
Пример III.3. По трем независимым выборкам, объемы которых n
1
= 9, n
2
= 13 и
n
3
= 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные
дисперсии, соответственно равные 3,2; 3,8 и 6,3. Требуется проверить нулевую гипоте-
зу об однородности дисперсий:
22
3
2
2
2
1
σσσσ
=== .
Решение
. Вследствие того, что исследуемая характеристика нормально распре-
делена в популяции, для проверки нулевой гипотезы используем критерий Бартлета.
Эмпирическое значение критерия находим по формуле
C
V
B
= (знаменатель C вычис-
лять не торопимся). Для расчета числителя
V составляем расчетную таблицу (табл. 8).
Таблица 8
Расчет эмпирического значения В
i
2
i
s
n
i
df
i
1/df
i
df
i
2
i
s
lg
2
i
s df
i
lg
2
i
s
f g h i j k
1 3,2 9 8 0,125 25,6 0,5051 4,0408
2 3,8 13 12 0,083 45,6 0,5798 6,9576
3 6,3 15 14 0,071 88,2 0,7993 11,1902
37 34 0,279 159,4 22,1886 
значимости α и числа степеней свободы df = m – 1. Если B попадает в об-
ласть допустимых значений критерия χ2, то есть если выполняется условие
                             B ≤ χα2(m – 1),
нулевая гипотеза о равенстве всех генеральных дисперсий не отвергается.
Оценкой генеральной дисперсии σ2 является величина s2, которая может
быть использована для построения доверительных интервалов
                            df               df
                         s2 2 < σ 2 < s2 2      ,
                                χα / 2            χ 1−α / 2
где число степеней свободы равно df = N – m; критические значения рас-
пределения Пирсона χ2 находятся для уровней значимости α/2 и 1 – α/2 и
числа степеней свободы df.
      В случае, когда эмпирическое значение B попадает в критическую
область критерия, то есть когда B > χα2(m – 1), нулевая гипотеза о равенст-
ве генеральных дисперсий отвергается и принимается альтернативная.
      Замечания. 1. Не следует торопиться вычислять константу С! Снача-
ла надо найти величину V и сравнить с критическим значением χα2(m – 1).
Если V попадает в область допустимых значений, то есть если выполняется
условие V ≤ χα2(m – 1), то и B также попадет в область допустимых значе-
ний, т.к. С > 1. Если же окажется, что V > χα2(m – 1), надо вычислить С,
найти B и сравнить его с критическим значением χα2(m – 1).
      2. Если объемы всех выборок одинаковые, предпочтительнее пользо-
ваться критериями Хартлея или Кочрена.
       Пример III.3. По трем независимым выборкам, объемы которых n1 = 9, n2 = 13 и
n3 = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные
дисперсии, соответственно равные 3,2; 3,8 и 6,3. Требуется проверить нулевую гипоте-
зу об однородности дисперсий: σ 12 = σ 22 = σ 32 = σ 2 .
       Решение. Вследствие того, что исследуемая характеристика нормально распре-
делена в популяции, для проверки нулевой гипотезы используем критерий Бартлета.
                                                            V
Эмпирическое значение критерия находим по формуле B =          (знаменатель C вычис-
                                                            C
лять не торопимся). Для расчета числителя V составляем расчетную таблицу (табл. 8).

                                                                       Таблица 8
                         Расчет эмпирического значения В

    i      si2     ni     dfi        1/dfi        dfi si2     lg si2     dfi lg si2
   �       �       �      �              �          �          �            �
   1      3,2      9       8        0,125          25,6       0,5051      4,0408
   2      3,8     13      12        0,083         45,6        0,5798      6,9576
   3      6,3     15      14        0,071         88,2        0,7993     11,1902
                  37      34        0,279         159,4                  22,1886




                                             29

Страницы