Теория статистического вывода - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
Альтернативная гипотеза
h
1
состоит в том, что указанные выборки
принадлежат генеральным совокупностям с разными дисперсиями.
Статистикой критерия
является случайная величина F
max
– отноше-
ние максимальной выборочной дисперсии к минимальной:
2
min
2
max
max
s
s
F =
,
которая сопоставляется с критическими значениями F
α
(m, n), найденными
в статистических таблицах для уровней значимости
α
, числа исследуемых
выборок m и объема выборок n. Если эмпирическое значение критерия по-
падает в область допустимых значений, то есть если выполняется неравен-
ство
F
max
≤ F
α
(m, n),
нулевая гипотеза об однородности дисперсий независимых выборок не от-
вергается. В качестве оценки генеральной дисперсии в этом случае прини-
мается среднее арифметическое выборочных дисперсий.
Если эмпирическое значение попадает в критическую область крите-
рия, то есть если выполняется неравенство F
max
> F
α
(m, n), принимается
альтернативная гипотеза.
Пример III.4. По окончании обучения в начальной школе психолог оценил ус-
тойчивость внимания учащихся пяти классов третьей параллели. В каждом классе было
обследовано по 20 учеников, значения выборочных дисперсий устойчивости внимания
третьеклассников оказались следующими:
2
1
s = 30,8;
2
2
s = 41,6;
2
3
s
= 37,2;
2
4
s = 39,4;
2
5
s = 30,6. В предположении нормального распределения показателей устойчивости
внимания требуется проверить нулевую гипотезу об однородности генеральных дис-
персий показателей устойчивости внимания всех пяти классов параллели:
22
5
2
2
2
1
...
σσσσ
==== .
Решение
. Вследствие того, что, во-первых, исследуемая характеристика имеет в
популяции нормальный закон распределения и, во-вторых, объемы всех выборок рав-
ны, для проверки нулевой гипотезы можем использовать критерий Хартлея.
Эмпирическое значение критерия находим по формуле
36,1
6,30
6,41
2
5
2
2
max
===
s
s
F .
Критические значения критерия определяем по статистическим таблицам. Зна-
чений для m = 5 и n = 20 в таблице нет, поэтому используем метод аппроксимации: вы-
бираем критические значения, бóльшие и мéньшие F(5, 20)
F
0,05
(5, 16) = 4,37 F
0,05
(5, 21) = 3,54
и отмечаем на диаграмме:
16 20 21
|⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯|
x
4,37 F
0,05
(5, 20) 3,54
Искомое критическое значение равно F
0,05
(5, 20) = 4,37 – x.
Неизвестное x здесь
следует вычитать, а не складывать, потому что с увеличени-
      Альтернативная гипотеза h1 состоит в том, что указанные выборки
принадлежат генеральным совокупностям с разными дисперсиями.
      Статистикой критерия является случайная величина Fmax – отноше-
ние максимальной выборочной дисперсии к минимальной:
                                        2
                                      s max
                               Fmax = 2 ,
                                      s min
которая сопоставляется с критическими значениями Fα(m, n), найденными
в статистических таблицах для уровней значимости α, числа исследуемых
выборок m и объема выборок n. Если эмпирическое значение критерия по-
падает в область допустимых значений, то есть если выполняется неравен-
ство
                             Fmax ≤ Fα(m, n),
нулевая гипотеза об однородности дисперсий независимых выборок не от-
вергается. В качестве оценки генеральной дисперсии в этом случае прини-
мается среднее арифметическое выборочных дисперсий.
      Если эмпирическое значение попадает в критическую область крите-
рия, то есть если выполняется неравенство Fmax > Fα(m, n), принимается
альтернативная гипотеза.
      Пример III.4. По окончании обучения в начальной школе психолог оценил ус-
тойчивость внимания учащихся пяти классов третьей параллели. В каждом классе было
обследовано по 20 учеников, значения выборочных дисперсий устойчивости внимания
третьеклассников оказались следующими: s12 = 30,8; s 22 = 41,6; s 32 = 37,2; s 42 = 39,4;
s 52 = 30,6. В предположении нормального распределения показателей устойчивости
внимания требуется проверить нулевую гипотезу об однородности генеральных дис-
персий показателей устойчивости внимания всех пяти классов параллели:
σ 12 = σ 22 = ... = σ 52 = σ 2 .
        Решение. Вследствие того, что, во-первых, исследуемая характеристика имеет в
популяции нормальный закон распределения и, во-вторых, объемы всех выборок рав-
ны, для проверки нулевой гипотезы можем использовать критерий Хартлея.
        Эмпирическое значение критерия находим по формуле
                                                 s 22 41,6
                                          Fmax = 2 =       = 1,36 .
                                                 s 5 30,6
        Критические значения критерия определяем по статистическим таблицам. Зна-
чений для m = 5 и n = 20 в таблице нет, поэтому используем метод аппроксимации: вы-
бираем критические значения, бóльшие и мéньшие F(5, 20)
                             F0,05(5, 16) = 4,37           F0,05(5, 21) = 3,54
и отмечаем на диаграмме:
                      16               20        21
                      |⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯|
                             x
                     4,37         F0,05(5, 20) 3,54
      Искомое критическое значение равно F0,05(5, 20) = 4,37 – x.
      Неизвестное x здесь следует вычитать, а не складывать, потому что с увеличени-
                                              31

Страницы