Теория статистического вывода - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
Однако в этом случае выборки объединить нельзя, потому что они неодно-
родны вследствие неравенства дисперсий. Для каждой выборки необходи-
мо отдельно рассчитать доверительные интервалы для мат. ожидания:
11
xxa Δ±= , ,
21
2211
nn
nxnx
x
+
+
=
1
1
11
)(
n
s
dftx
сл
⋅=Δ
α
, df
1
= n
1
– 1.
В случае, если значение | t | попадает в критическую область
крите-
рия, верной считается альтернативная гипотеза а
1
≠
а
2
. Для каждого мате-
матического ожидания строится свой доверительный интервал:
111
xxa Δ±= .
Пример IV.1. По данным примера III.1 требуется проверить нулевую гипотезу
h
0
: а
1
= а
2
= а о равенстве математических ожиданий познавательной активности 30
учащихся средней школы и 20 учащихся гуманитарного лицея (
n
1
= 30, n
2
= 20,
1
x = 401,
2
x = 409,
2
1
s = 71,
2
2
s = 82). Предполагается, что познавательная активность в
популяции подчиняется закону нормального распределения.
Решение. Предположение о нормальном законе распределения познавательной
активности в популяции позволяет использовать критерий Стьюдента для проверки ну-
левой гипотезы. При решении примера III.1 было показано, что имеющиеся эмпириче-
ские данные не позволяют отклонить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дис-
персий. В связи с этим расчет эмпирического значения критерия Стьюдента произво-
дим по формуле согласно Слу
чаю 1. Оценка дисперсии была найдена в примере III.1:
s
2
= 75,4; откуда s = 8,68. Эмпирическое значение критерия Стьюдента равно:
193,3
20
1
30
1
68,8
409401
=
+⋅
−
=t
.
Критические значения t
α
(df) находим в статистической таблице распределения
Стьюдента для числа степеней свободы
df = df
1
+ df
2
= n
1
+ n
2
– 2 = 30 + 20 – 2 = 48:
h
0
? h
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯|⎯⎯→
2,011 2,682 3,193
t
Эмпирическое значение попадает в критическую область критерия Стьюдента,
следовательно, нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается.
Таким образом, показатели познавательной активности учащихся средней школы и гу-
манитарного лицея различаются значимо (
р < 0,01), а тип учебного заведения оказывает
существенное влияние на уровень познавательной активности школьника.
Вычислим 95 %-ные доверительные интервалы для математических ожиданий
познавательной активности школьников и лицеистов (в отсутствие инструментальных
погрешностей
xxa
Δ
±
=
сл
):
1,30,401
30
71
045,2401)(
1
2
1
11
±=⋅±=⋅±=
n
s
dftxa
ш
α
, α = 0,05;
2,40,409
20
82
093,2409)(
2
2
2
22
±=⋅±=⋅±=
n
s
dftxa
л
α
, α = 0,05. 
Однако в этом случае выборки объединить нельзя, потому что они неодно-
родны вследствие неравенства дисперсий. Для каждой выборки необходи-
мо отдельно рассчитать доверительные интервалы для мат. ожидания:
                                               x n + x2 n2
                   a1 = x ± Δx1 ,          x= 1 1          ,
                                                 n1 + n 2
                                      s
                  Δxсл1 = tα (df1 ) ⋅ 1 ,       df1 = n1 – 1.
                                       n1
       В случае, если значение | t | попадает в критическую область крите-
рия, верной считается альтернативная гипотеза а1 ≠ а2. Для каждого мате-
матического ожидания строится свой доверительный интервал:
a1 = x1 ± Δx1 .
        Пример IV.1. По данным примера III.1 требуется проверить нулевую гипотезу
h0: а1 = а2 = а о равенстве математических ожиданий познавательной активности 30
учащихся средней школы и 20 учащихся гуманитарного лицея (n1 = 30, n2 = 20,
 x1 = 401, x 2 = 409, s12 = 71, s 22 = 82). Предполагается, что познавательная активность в
популяции подчиняется закону нормального распределения.
        Решение. Предположение о нормальном законе распределения познавательной
активности в популяции позволяет использовать критерий Стьюдента для проверки ну-
левой гипотезы. При решении примера III.1 было показано, что имеющиеся эмпириче-
ские данные не позволяют отклонить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дис-
персий. В связи с этим расчет эмпирического значения критерия Стьюдента произво-
дим по формуле согласно Случаю 1. Оценка дисперсии была найдена в примере III.1:
s2 = 75,4; откуда s = 8,68. Эмпирическое значение критерия Стьюдента равно:
                                            401 − 409
                                    t =                 = 3,193 .
                                                 1    1
                                        8,68 ⋅     +
                                                30 20
        Критические значения tα(df) находим в статистической таблице распределения
Стьюдента для числа степеней свободы df = df1 + df2 = n1 + n2 – 2 = 30 + 20 – 2 = 48:
                          h0       ?        h1
                       ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯|⎯⎯→
                             2,011   2,682 3,193 t
      Эмпирическое значение попадает в критическую область критерия Стьюдента,
следовательно, нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается.
Таким образом, показатели познавательной активности учащихся средней школы и гу-
манитарного лицея различаются значимо (р < 0,01), а тип учебного заведения оказывает
существенное влияние на уровень познавательной активности школьника.
      Вычислим 95 %-ные доверительные интервалы для математических ожиданий
познавательной активности школьников и лицеистов (в отсутствие инструментальных
погрешностей a = x ± Δx сл):
                                       s12                 71
            a ш = x1 ± tα (df1 ) ⋅         = 401 ± 2,045 ⋅    = 401,0 ± 3,1 , α = 0,05;
                                       n1                  30
                                       s 22                 82
            a л = x 2 ± tα (df 2 ) ⋅        = 409 ± 2,093 ⋅    = 409,0 ± 4,2 , α = 0,05.
                                       n2                   20

                                                       36

Страницы