Теория статистического вывода - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

37
§ 13. Критерий Манна–Уитни
Назначение. Ранговый критерий Манна–Уитни является непарамет-
рическим аналогом критерия Стьюдента в случае, если проводились по-
рядковые измерения или информация о законе распределения исследуемой
характеристики в популяции отсутствует.
Критерий Манна–Уитни особенно эффективен при сравнительно ма-
лых объемах выборок (до 60).
Ограничение
: n
i
> 3: объем каждой выборки должен быть больше
трех; или: n
1
= 2, n
2
> 4.
Описание критерия
. Из двух генеральных совокупностей извлечены
независимые выборки объемами n
1
и n
2
. В результате исследования полу-
чены числовые значения изучаемого показателя в первой и во второй вы-
борках. Требуется сравнить выборочные показатели.
Нулевая гипотеза
h
0
состоит в том, что обе выборки принадлежат од-
ной генеральной совокупности, то есть имеют тождественные функции
распределения: F
1
(x) = F
2
(x).
Альтернативная гипотеза
h
1
состоит в том, что указанные выборки
принадлежат различным генеральным совокупностям: F
1
(x) ≠ F
2
(x).
Схема вычислений
. Значения характеристики двух выборок объеди-
няются в общий вариационный ряд с отметкой принадлежности каждого
члена ряда к соответствующей выборке и производится ранжирование
членов ряда (меньшие значения получают меньшие ранги). Одинаковым
значениям общего вариационного ряда присваиваются одинаковые ранги,
равные среднему арифметическому.
Затем подсчитываются суммы рангов R
1
и R
2
каждой выборки. В ка-
честве проверки правильности вычислений используют соотношение
R
1
+ R
2
= ½ (n
1
+ n
2
) (n
1
+ n
2
+ 1).
Далее подсчитываются инверсии:
U
1
= n
1
n
2
+ ½ n
2
(n
2
+ 1) – R
2
;
U
2
= n
1
n
2
+ ½ n
1
(n
1
+ 1) – R
1
с контролем по формуле: U
1
+ U
2
= n
1
n
2
.
Статистикой
критерия Манна–Уитни является случайная величина
U – наименьшая из двух инверсий: U = min(U
1
, U
2
).
Проверка нулевой гипотезы
об однородности совокупностей осуще-
ствляется по-разному, в зависимости от объемов исследуемых выборок.
При n
1
+ n
2
≥ 20 и n
i
> 3 величина U распределена нормально с пара-
метрами M(U) =
2
1
n
1
n
2
и
σ
2
(U) =
12
1
n
1
n
2
(n
1
+ n
2
+ 1). При меньшем объе-
ме выборок (n
1
+ n
2
< 20) распределение величины U отличается от нор-
мального. 
     § 13. Критерий Манна–Уитни
      Назначение. Ранговый критерий Манна–Уитни является непарамет-
рическим аналогом критерия Стьюдента в случае, если проводились по-
рядковые измерения или информация о законе распределения исследуемой
характеристики в популяции отсутствует.
      Критерий Манна–Уитни особенно эффективен при сравнительно ма-
лых объемах выборок (до 60).
      Ограничение: ni > 3: объем каждой выборки должен быть больше
трех; или: n1 = 2, n2 > 4.
      Описание критерия. Из двух генеральных совокупностей извлечены
независимые выборки объемами n1 и n2. В результате исследования полу-
чены числовые значения изучаемого показателя в первой и во второй вы-
борках. Требуется сравнить выборочные показатели.
      Нулевая гипотеза h0 состоит в том, что обе выборки принадлежат од-
ной генеральной совокупности, то есть имеют тождественные функции
распределения: F1(x) = F2(x).
      Альтернативная гипотеза h1 состоит в том, что указанные выборки
принадлежат различным генеральным совокупностям: F1(x) ≠ F2(x).
      Схема вычислений. Значения характеристики двух выборок объеди-
няются в общий вариационный ряд с отметкой принадлежности каждого
члена ряда к соответствующей выборке и производится ранжирование
членов ряда (меньшие значения получают меньшие ранги). Одинаковым
значениям общего вариационного ряда присваиваются одинаковые ранги,
равные среднему арифметическому.
      Затем подсчитываются суммы рангов R1 и R2 каждой выборки. В ка-
честве проверки правильности вычислений используют соотношение
                        R1 + R2 = ½ (n1 + n2) (n1 + n2 + 1).
      Далее подсчитываются инверсии:
                          U1 = n1 n2 + ½ n2 (n2 + 1) – R2;
                           U2 = n1 n2 + ½ n1 (n1 + 1) – R1
с контролем по формуле: U1 + U2 = n1 n2.
      Статистикой критерия Манна–Уитни является случайная величина
U – наименьшая из двух инверсий: U = min(U1, U2).
      Проверка нулевой гипотезы об однородности совокупностей осуще-
ствляется по-разному, в зависимости от объемов исследуемых выборок.
      При n1 + n2 ≥ 20 и ni > 3 величина U распределена нормально с пара-
                 1                  1
метрами M(U) = n1n2 и σ2(U) =         n1n2 (n1 + n2 + 1). При меньшем объе-
                  2                12
ме выборок (n1 + n2 < 20) распределение величины U отличается от нор-
мального.


                                       37

Страницы