Теория статистического вывода - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

46
выборочное общее среднее, n
i
– объемы выборок.
Внутригрупповая дисперсия
является «случайной», или «остаточ-
ной». Она характеризует внутреннее рассеяние, связанное с неоднородно-
стью индивидуальных характеристик испытуемых внутри каждой группы,
а также обусловленное неучтенными факторами. Всякие различия между
испытуемыми внутри каждой группы объясняются неконтролируемыми
иррелевантными факторами, не имеющими отношения к исследованию.
Внутригрупповая дисперсия вычисляется по формуле
∑∑
−
−
=
−
−
==
m
i
n
j
iij
M
M
B
B
B
i
xx
mNdfdf
SSSS
df
SS
s
22
)(
1
,
где SS и SS
M
, df и df
M
– суммы квадратов и числа степеней свободы полной
и межгрупповой дисперсий, N – общее число всех испытуемых, m – коли-
чество групп испытуемых, x
ij
– значение характеристики j-го испытуемого
из i-й группы,
i
x
– выборочное среднее значение в i-й группе.
Ход вычислений компонент дисперсии показан в таблице 16.
Таблица 16
Схема однофакторного дисперсионного анализа
Компонента
дисперсии
Сумма
квадратов, SS
Число степеней
свободы, df
Дисперсия
Межгрупповая
∑
=
−=
m
i
iiM
nxxSS
1
2
)(
df
M
= m – 1
M
M
M
df
SS
s =
2
Внутригрупповая
MB
SSSSSS
−
=
df
B
= N – m
B
B
B
df
SS
s =
2
Полная (общая)
∑
−=
k
kk
nxxSS
2
)(
df = N – 1
df
SS
s =
2
5. Проверка нулевой гипотезы об однородности генеральных сово-
купностей сводится к проверке гипотезы о равенстве межгрупповой и
внутригрупповой дисперсий. Для этого вычисляют величину
2
2
B
M
s
s
F =
, ко-
торую сравнивают с критическими значениями критерия Фишера, выбран-
ными для уровней значимости
α и числа степеней свободы df
M
и df
B
.
Если эмпирическое значение
F попадает в область допустимых зна-
чений критерия Фишера:
F ≤ F
0,05
(df
M
; df
B
), нулевая гипотеза об однородно-
сти изучаемых совокупностей не отвергается. Считается, что исследуемый
фактор не оказывает значимого влияния на изучаемые свойства испытуе-
мых, а все
m выборок принадлежат одной генеральной совокупности, рас-
пределенной нормально с параметрами
а и σ
2
. Оценкой ее математического
ожидания служит выборочное общее среднее
x
, а оценкой дисперсии –
выборочная полная (общая) дисперсия
s
2
(отношение SS к df).
Доверительные интервалы для
а и σ
2
находятся из выражений 
выборочное общее среднее, ni – объемы выборок.
      Внутригрупповая дисперсия является «случайной», или «остаточ-
ной». Она характеризует внутреннее рассеяние, связанное с неоднородно-
стью индивидуальных характеристик испытуемых внутри каждой группы,
а также обусловленное неучтенными факторами. Всякие различия между
испытуемыми внутри каждой группы объясняются неконтролируемыми
иррелевантными факторами, не имеющими отношения к исследованию.
      Внутригрупповая дисперсия вычисляется по формуле
                   SS B SS − SS M       1  m ni
               s =2
                  B
                   df B
                        =
                          df − df M
                                    =     ∑∑
                                      N −m i j
                                                ( xij − xi ) 2 ,

где SS и SSM, df и dfM – суммы квадратов и числа степеней свободы полной
и межгрупповой дисперсий, N – общее число всех испытуемых, m – коли-
чество групп испытуемых, xij – значение характеристики j-го испытуемого
из i-й группы, xi – выборочное среднее значение в i-й группе.
       Ход вычислений компонент дисперсии показан в таблице 16.
                                                                            Таблица 16
                    Схема однофакторного дисперсионного анализа
    Компонента                Сумма                     Число степеней
                                                                         Дисперсия
     дисперсии             квадратов, SS                  свободы, df
                                    m                                             SS M
   Межгрупповая         SS M = ∑ ( xi − x ) 2 ni          dfM = m – 1    s M2 =
                                    i =1                                          df M
                                                                               SS B
  Внутригрупповая          SS B = SS − SS M               dfB = N – m    s B2 =
                                                                               df B

   Полная (общая)        SS = ∑ ( x k − x ) 2 nk           df = N – 1     s2 =
                                                                                SS
                                k                                               df

      5. Проверка нулевой гипотезы об однородности генеральных сово-
купностей сводится к проверке гипотезы о равенстве межгрупповой и
                                                                   s M2
внутригрупповой дисперсий. Для этого вычисляют величину F = 2 , ко-
                                                                   sB
торую сравнивают с критическими значениями критерия Фишера, выбран-
ными для уровней значимости α и числа степеней свободы dfM и dfB.
      Если эмпирическое значение F попадает в область допустимых зна-
чений критерия Фишера: F ≤ F0,05(dfM; dfB), нулевая гипотеза об однородно-
сти изучаемых совокупностей не отвергается. Считается, что исследуемый
фактор не оказывает значимого влияния на изучаемые свойства испытуе-
мых, а все m выборок принадлежат одной генеральной совокупности, рас-
пределенной нормально с параметрами а и σ2. Оценкой ее математического
ожидания служит выборочное общее среднее x , а оценкой дисперсии –
выборочная полная (общая) дисперсия s2 (отношение SS к df).
      Доверительные интервалы для а и σ2 находятся из выражений



                                                   46

Страницы