Методы оптимизации. Харчистов Б.Ф. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

13
ределенной, если 0))(( 0)(
≥>
αα
QQ
при всех ненулевых
n
R∈
α
;
отрицательно (неположительно) определенной, если
0))(( 0)(
≤<
αα
QQ
при всех ненулевых
n
R∈
α
; неопределен-
ной, если 0)(
>
α
Q
для некоторы х ненулевы х
n
R∈
α
и 0)(
<
α
Q
для остальных ненулевых
n
R∈
α
.
Достаточное условие локальной оптимальности
. Пусть
f
(
x
) дважды дифференцируема в точке
n
Rx ∈
∗
, причем
0)(
=
′
∗
xf
, т.е.
x
∗
−
стационарная точка. Тогда, если матрица
)(
∗
′′
xf
является положительно (отрицательно) определенной, то
x
∗
−
точка локального минимума (максимума); если матрица
)(
∗
′′
xf
является неопределенной, то
x
∗
−
седловая точка.
Если матрица )(
∗
′′
xf
является неотрицательно (неполо-
жительно) определенной, то для определения характера стацио-
нарной точки
x
∗
требует ся исследование производных более вы-
сокого порядка.
Для проверки знакоопределенности матрицы, как правило,
используется
критерий Сильвестра
. Согласно этому критерию,
симметричная матрица
А
является положительно о пределенной в
том и только том случае, если все ее угловые миноры положи-
тельны. При этом угловым минором матрицы
А
называется опре-
делитель матрицы, построенной из элементов матрицы
А
, стоя-
щих на пересечении стр ок и столбцов с одинаковыми (причем
первыми) номерами. Чтобы проверить симметричную матрицу
А
на отрицательную оп ределенность, надо проверить матрицу (
−А
)
на положительну ю о п ределенность.
Итак, алгоритм определения точек локальных экстрему-
мов функции многих переменных заключается в следующем.
1. Находится )(
xf
′
.
2. Решается система
,nj
x
xf
j
1,0
)(
==
∂
∂
.

Страницы