Составители:
Рубрика:
101
Глава 3. Исследование функций с помощью
производных
3.1. Экстремумы и монотонность
Рассмотрим функцию y = f (x), определённую на некотором интервале
I ⊂ R
. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке
0
xI∈
, если
найдётся такая δ – окрестность точки х
0
, что для всех точек х интервала I,
попадающих в эту окрестность, f (х
0
) ≥ f (x). Если вместо последнего неравен-
ства выполняется неравенство f (х
0
) ≤ f (x), то х
0
есть точка локального ми-
нимума функции f (x).
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными
экстремумами функции.
Если в предыдущих неравенствах заменить знаки ≥ или ≤ строгими
знаками > или < соответственно, то получатся определения строгого ло-
кального максимума и строгого локального минимума (строгих локальных
экстремумов).
Локальный экстремум называется глобальным экстремумом, если со-
ответствующее неравенство ( f (х
0
) ≥ f (x), f (х
0
) ≤ f (x), f (х
0
) > f (x), f (х
0
) <
< f (x)) выполняется при всех
xI
∈
.
Первым этапом отыскания экстремумов функции f (x):
I
→ R
является
обычно выделение точек интервала I, “подозрительных на экстремум”, т.е. та-
ких, что экстремум функции, если он вообще существует, может быть только в
этих точках, а не в других. Этот этап основан на следующей теореме.
Теорема 1 (необходимое условие наличия экстремума во внутренней
точке интервала). Если внутренняя точка х
0
интервала I есть точка экс-
тремума функции f (x), то либо производная f ′ (х
0
) не существует, либо она
равна нулю.
На рис. 1. иллюстрируются оба эти случая.
Доказательство. Пусть производная f ′ (х
0
) существует и не равна
нулю. Тогда, для любого
xI
∈
можно записать
() () ()( ) ( )
000 0
f
x
f
x
f
xxx oxx
′
−= −+−
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- …
- следующая ›
- последняя »
