Составители:
Рубрика:
103
Ясно, что данная функция определена на всей действительной оси, ибо
квадратный трёхчлен в знаменателе в ноль не обращается (его дискриминант
отрицателен, как легко проверить). Значит, функция везде имеет производную.
Поэтому её глобальные экстремумы на интервале
[]
1, 2
−
могут реализоваться
либо в граничных точках интервала, либо в его внутренних точках с нулевой
производной. Вычисляя производную, получаем
()
()
2
2
10 2
22
xx
y
xx
+
′
=−
++
. Она об-
ращается в ноль в одной внутренней точке нашего интервала х
1
=0. Ещё две по-
дозрительные на экстремум точки – это границы интервала: х
2
= –1 и х
3
= 2.
Как и положено при поиске глобальных экстремумов, находим значения функ-
ции во всех подозрительных точках: у(0) = 5, у(–1) = 0, у(2) = 3. Сравнивая эти
числа, видим, что глобальный минимум 0 достигается в левом конце интервала,
глобальный максимум 5 – во внутренней точке х = 0.
Если же нужно найти локальные экстремумы, то описанный метод недос-
таточен. Как поступать в подобных случаях, выясним чуть позже. А пока рас-
смотрим способ определения монотонности функции f (x) на интервале в том
случае, когда f (x) дифференцируема.
Теорема 2 (достаточные условия монотонности функции). Пусть функция
f (x):
[]
,
ab
→ R
непрерывна на [a, b] и дифференцируема на [a, b]. Тогда
а) если f ′ (x) = 0 на [a,b], то f (x) = const на [a, b].
б) если f ′ (x) ≥ 0 (f ′ (x) > 0) на [a, b], то f (x) не убывает (возрастает) на
[a, b].
в) если f ′ (x) ≤ 0 (f ′ (x) < 0) на [a, b], то f (x) не возрастает (убывает) на
[a, b].
Доказательство. Пусть
[]
12
,,
xx ab
∈
, х
1
< х
2
. По формуле Лагранжа
()()()()()
2 1 21 21
f
x
f
x
f
cx x ox x
′
−= −+−
, где х
1
< с < х
2
. Отсюда немедленно
вытекают все утверждения теоремы.
Теперь можно вернуться к вопросу о наличии и характере локального
экстремума в подозрительных точках.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- …
- следующая ›
- последняя »
