Составители:
Рубрика:
104
Пусть функция
()
f
x
:
I
→ R
имеет критическую точку х
0
внутри I и
непрерывна в окрестности х
0
. Предположим, что некоторые интервалы вида
[x
0
– δ, x
0
], [x
0
, x
0
+ δ] являются интервалами монотонности функции
()
f
x
.
Тогда вопрос о наличии и характере экстремума решается сравнением поведе-
ния
()
f
x
на этих интервалах.
Если в интервалах [x
0
– δ,x
0
],[x
0
, x
0
+ δ] функция
()
f
x
дифференцируема,
то вопрос сводится к тому, меняет ли f ′ (x) свой знак при переходе через точ-
ку x
0
.
В случае, когда x
0
– граничная точка интервала I, надо исследовать по-
ведение
()
f
x
(знак f ′ (x)) лишь с одной стороны от x
0
.
Итак, решение задачи о локальном экстремуме дифференцируемой
функции f (x) в точке x
0
сводится к исследованию знака f ′(x) в окрестности x
0
.
ПРИМЕР 2. Построить график функции
32
16 12 5
yx x
=+−
с помощью
производной первого порядка.
Ясно, что эта функция и её производная
2
48 24
y
xx
′
=+
определены на
всей числовой оси x. При приближении x к границам области определения, т.е.
при
x
→∞
, функция – бесконечно большая (отрицательная слева и положи-
тельная справа). Для определения её корней надо решать кубическое уравне-
ние. После нескольких попыток перебора можно угадать корень
0,5
x =
. Как
легко проверить с помощью теоремы Безу и деления кубического многочлена
на (
0, 5
x −
), других корней наша функция не имеет.
Записав производную в виде
()
24 2 1
yxx
′
=+
, видим, что она обращается
в ноль в точках x
1
= 0, x
2
= –0,5, положительна на интервалах x < –0,5 и x > 0,
отрицательна при – 0,5 < x < 0. Следовательно, в силу изложенной выше тео-
рии, функция строго возрастает на первых двух интервалах и строго убывает на
последнем. Она имеет локальный максимум y (–0,5) = – 4 и локальный мини-
мум y (0) = –5. Глобальных экстремумов функция не имеет в силу неограничен-
ности на бесконечности и сверху, и снизу.
Полученные данные позволяют нарисовать качественный график (эскиз
графика) функции, представленный на рис. 2. При желании его можно уточнить
“по точкам”.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
