Составители:
Рубрика:
107
Теорема 3. Пусть все производные порядка ниже n функции f (x) во внутрен-
ней точке х
0
интервала I равны нулю, а
()
()
0
0
n
fx
≠
. Тогда:
а) если n чётно, то х
0
– точка строгого экстремума функции (минимума
при
()
()
0
0
n
fx
>
, максимума при
()
()
0
0
n
fx
<
);
б) если n нечётно, то в х
0
экстремума нет.
Доказательство. По формуле Тейлора в окрестности точки х
0
имеем
() ( )
()
()()()
()
0000
1
!
nn
n
fx fx f x x x o x x
n
=+ −+−
при x → х
0
.
Иначе:
() ( )
()
()( ) ()
000
1
11
!
n
n
fx fx f x x x o
n
−= − +
при x→ х
0
,
0
xx≠
.
Из этой формулы вытекают утверждения теоремы. Действительно, при x,
достаточно близких к х
0
, величина
()
1
o
в последнем равенстве будет по моду-
лю меньше единицы, а значит выражение в квадратных скобках будет положи-
тельным.
Далее, при чётном n величина
()
0
n
xx−
оказывается положительной, не-
зависимо от того, с какой стороны от
х
0
оказывается x. Поэтому знак прираще-
ния функции
() ( )
0
f
x
f
x
−
оказывается одинаковым с обеих сторон от
х
0
и
совпадающим со знаком
()
()
0
n
f
x
. Отсюда первое утверждение теоремы.
При нечётном n знак величины
()
0
n
xx−
различен справа и слева от х
0
,
поэтому то же можно сказать и о знаке приращения
() ( )
0
f
x
f
x
−
. Поэтому в
точке х
0
экстремума быть не может.
ПРИМЕР 4. Исследовать поведение функции
21
2
x
y
xe
−
=−
в окрестно-
сти точки х
0
= 1 с помощью производных высших порядков.
Для этого вычисляем последовательные производные данной функции в
точке х
0
= 1, пока не попадём на производную, отличную от нуля:
()
1
22 , 10,
x
yxe y
−
′′
=− =
()
1
22 , 1 0,
x
yey
−
′′ ′′
=− =
()
1
2, 120.
x
yey
−
′′′ ′′′
=− =− <
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
