Составители:
Рубрика:
109
x
y
x
o
x
o
Точка х
0
называется точкой перегиба функции f (x), если она является
общей границей интервала выпуклости и интервала вогнутости f (x), причем
сама функция f (x) непрерывна в точке х
0
(рис. 3).
Рис. 3. Точки перегиба.
Ограничимся случаем, когда f (x) дифференцируема на интервале [a,b].
Тогда выпуклость на этом интервале можно определить иначе: по относитель-
ному положению графика функции и касательных к нему (а не хорд). Функция f
(x) вогнута (строго вогнута) на [a,b], если касательная к графику f (x) в каж-
дой точке из [a,b] лежит не выше (ниже) этого графика. Аналогично опреде-
ляется выпуклость (строгая выпуклость). Мы не будем доказывать геометри-
чески очевидную эквивалентность двух определений.
Но если пользоваться определением с помощью касательных, становится
ясно, что интервал выпуклости f (x) оказывается интервалом монотонности
производной f ′ (x). В самом деле, достаточно нарисовать на рис. 1 и 2 касатель-
ные к графику в точках x
1
, x
2
. Выяснится, что для вогнутости (рис. 1) получится
f ′ (x
1
) < f ′ (x
2
), а для выпуклости (рис. 2) будет f ′ (x
1
) > f ′ (x
2
). Что касается
точек перегиба, то они оказываются точками, в которых меняется направле-
ние изменения f ′ (x), т.е. точки экстремумов функции f ′ (x).
Отсюда важный вывод: исследовать f (x) на выпуклость и перегибы озна-
чает исследовать f ′ (x) на монотонность и экстремумы.
Иначе говоря, для дифференцируемой на [a,b] функции f (x):
а) Точками перегиба f (x) могут быть только точки, в которых f ′′ (x) не
существует или равна нулю.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
