Составители:
Рубрика:
110
б) Интервалы выпуклости f (x) – это интервалы монотонности f ′ (x).
При наличии f ′′ (x) – это интервалы постоянного знака f ′′ (x).
в) Вопрос о наличии перегиба в подозрительной (см. пункт а) точке х
0
можно решать, сравнивая характер монотонности f ′ (x) слева и справа от х
0
(сравнивая знаки f ′′ (x)).
г) Тот же вопрос можно решать, исследуя значения высших производ-
ных в самой точке х
0
(см. последнюю теорему из разд. 3.1, заменив f (x) на
f ′ (x)).
3.3. Наклонные асимптоты.
Общая схема исследования функции
Рассмотрим функцию
y = f (x) (1)
в область определения которой входят все достаточно большие по модулю зна-
чения x, так что можно обсуждать поведение функции при
x
→∞
.
Наклонной асимптотой функции (1) называется прямая
y = kx + b (2)
такая, что
() ( )
lim 0
x
fx kx b
→∞
−+=
(3)
Другими словами, расстояние между графиком функции (1) и прямой (2) долж-
но стремиться к нулю при
x
→∞
.
Как выяснить по заданной функции (1), имеет ли она наклонную асим-
птоту, и, если да, как найти соответствующие числа k и b?
ТЕОРЕМА. Для того, чтобы функция (1) имела наклонную асимптоту (2), не-
обходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
()
()
lim , lim
xx
fx
k
f
xkx b
x
→∞ →∞
=−=
(4)
Доказательство. Предположим, что асимптота существует. Тогда вер-
но равенство (3), которое мы перепишем в виде
()
()
1
fx
b
ko x
xxx
−− = →∞
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
