Составители:
Рубрика:
125
элементов этих совокупностей тоже можно определить операции сложения и
умножения на числа так, чтобы выполнялись свойства а) – з) из 4.1 со всеми их
следствиями. В частности, для таких совокупностей можно вводить понятия
линейной зависимости, базиса и координат.
Множество V называется векторным или линейным пространством,
если определены операции сложения его элементов и умножения их на числа,
так что:
Для любой упорядоченной пары x, y
∈
V существует единственный эле-
мент
x
y
V
+∈
(сумма x и y); для любого
xV
∈
и любого числа
α∈
сущест-
вует единственный элемент
xV
α∈
(произведение
α
на x), при этом выпол-
няются следующие аксиомы:
1.
,: .
x
y
Vx
yy
x
∀∈ +=+
2.
() ()
,, : .
x
y
zV x
y
zx
y
z
∀∈ ++=++
3. Существует единственный элемент из V, называемый нулевым и обо-
значаемый 0, такой что
:0.
xV x x
∀∈ + =
4. Для каждого
xV
∈
существует единственный элемент
xV
′
∈
, такой
что
0
xx
′
+=
. Этот элемент называется противоположным для x.
5.
()
,, : .
x
y
Vx
y
x
y
αα αα∀∈∀∈ +=+
6.
()
,, : .
xV x x x
αβ α β α β∀∈∀∈ + =+
7.
()()
,, : .
xV x x
αβ α β αβ∀∈∀∈ =
8.
:1 .
xV x x
∀∈ ⋅ =
Элементы векторного пространства называются векторами.
Свойства 1
−
8 называются аксиомами векторного пространства.
Сделаем несколько замечаний к приведённому определению векторного
пространства.
- После этого определения термин “вектор” принимает более общий
смысл, чем первоначально в теории геометрических векторов.
- Новый смысл обретает и термин “пространство”. Это вовсе не обяза-
тельно реальное физическое пространство, а какое угодно множество, лишь бы
для его элементов были определены операции сложения и умножения на числа,
удовлетворяющие аксиомам 1
−
8.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- …
- следующая ›
- последняя »
