Составители:
Рубрика:
128
имеющими существенное значение для теоретических вопросов, в которых
встречаются подобные системы, однако практическое решение конкретных
систем, в том числе и с очень большим числом уравнений и неизвестных, как
правило, осуществляется методом Гаусса или его модификациями.
Этот метод позволяет ответить на следующие вопросы:
- Имеет ли решения система (3), т.е. совместна ли она?
- Единственно ли решение системы, т.е. определённая ли она?
- Как описать структуру множества решений, если их много?
- Как вычислять конкретные решения системы?
Суть метода более или менее ясна из его названия “метод последователь-
ного исключения неизвестных”. Однако, на пути реализации этих самых после-
довательных исключений возможны некоторые “подводные камни”. Поэтому
мы изложим строгое формальное описание метода Гаусса, не оставляющее ни-
каких неясностей и понятное даже компьютеру.
Для этого перепишем систему (3) в несколько более громоздком, но
удобном для нашего изложения виде
00 0 0
11 1 12 2 1 1
00 0 0
21 1 22 1 2 2
00 0 0
11 2 2
mm
mm
nn nmmn
ax ax a x
y
ax ax a x
y
ax a x a x
y
+++ =
+++ =
+++ =
…
…
…
…
. (8)
Рассмотрим вначале первое уравнение этой системы. Может случиться,
что
00 0 0
11 12 1 1
0
m
aa a y
=== ==…
, т.е. уравнение удовлетворяется любым набо-
ром неизвестных (x
1
, x
2
,…, x
m
). Тогда первое уравнение можно отбросить, ос-
тавшиеся уравнения составят новую систему, эквивалентную исходной.
Другая возможность:
00 0
11 12 1
0
m
aa a
=== =…
, но
0
1
0
y
≠
. Первое уравне-
ние, а следовательно и вся система (8) не удовлетворяется никаким набором (x
1
,
x
2
,…, x
m
), т.е. она несовместна. Фиксированием этого факта исследование сис-
темы заканчивается.
Наконец, остаётся последняя возможность: среди коэффициентов
00 0
11 12 1
,,,
m
aa a
…
есть, по меньшей мере, один, отличный от нуля. Назовём его
ведущим элементом матрицы системы. Не ограничивая общности анализа,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
