Составители:
Рубрика:
130
00 0 0 0 0
11 1 12 2 1, 1, 1 1 1 1
11 1 11
22 2 2, 2, 1 1 2 2
11 11
,,11,
nknk nk nk mm
nknk nk nk mm
nk nk nk nk
nknknk nknk nk nkmm nk
ax ax a x a x a x y
ax a x a x a x y
axa x axy
− − −+ −+
− − −+ −+
−− −− −− −−
− − − − −+ −+ − −
+++ + ++ =
++ + ++ =
+++=
……
……
(12)
Переходом к системе (12) заканчивается первый этап применения метода Гаус-
са, называемый прямым ходом.
Неизвестные x
n-k+
1
,…, x
m
, не фигурирующие в “треугольной” части сис-
темы (12), называются свободными (независимыми). Рассмотрим сначала слу-
чай, когда их нет, т.е. когда m = n – k (общее число неизвестных m совпадает с
числом всех уравнений, кроме лишних, тождественных). Перебирая последо-
вательно все m уравнений (12), от последнего к первому, мы единственным об-
разом найдём сначала x
m
, затем x
m
−
1
, и т.д. до x
1
включительно. В этом состо-
ит обратный ход метода Гаусса. Гарантией его однозначной реализуемости
служит то, что ведущие элементы
01 1
11 22 ,
,,,
nk
nknk
aa a
−−
−−
…
отличны от нуля.
Таким образом, в случае m = n – k система (8), а значит и (1),
−
совмест-
ная и определённая. Её решение вычисляется по алгоритму метода Гаусса.
Пусть теперь m > n – k , т.е. имеется m
−
n – k свободных неизвестных
x
n-k+
1
,…, x
m
. Задавая произвольно их числовые значения, мы сводим систему
(12) к “треугольной” и, реализуя обратный ход метода Гаусса, однозначно на-
ходим соответствующие значения оставшихся (связанных) неизвестных x
1
,…,
x
n-k
. Таким образом, всякий выбор значений свободных неизвестных однозначно
определяет решение системы (1). Следовательно, в случае m > n – k система
(1) совместна, но неопределённа, т.е. имеет не одно решение.
Чтобы удобнее описать совокупность получающихся при этом решений,
заметим, что выражения связанных неизвестных через свободные являются вы-
ражениями первой степени. Это видно из алгоритма обратного хода. Значит
можно записать
x
1
= b
11
x
n-k
+1
+b
12
x
n-k
+2
+…+b
1
,m-n+k
x
m
+c
1
x
2
= b
21
x
n-k
+1
+b
22
x
n-k
+2
+…+b
2
,m-n+k
x
m
+c
2
…
x
n-k
= b
n-k
,
1
x
n-k
+1
+b
n-k
,
2
x
n-k
+2
+…+b
n-k,m-n+ k
x
m
+c
n-k
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- …
- следующая ›
- последняя »
