Составители:
Рубрика:
150
(отсчитываемый против часовой стрелки). Эти два числа r,
ϕ
называются по-
лярными координатами точки М.
В отличие от аффинных координат, соответствие
()
,
Mr
ϕ→
не является
взаимно однозначным соответствием между точками плоскости и всевоз-
можными упорядоченными парами чисел. Во-первых, всегда 0r
≥
, так что пара
()
,r
ϕ
с 0r
<
не может представлять полярные координаты какой-либо точки.
Во-вторых, каждой точке M, отличной от полюса O, соответствует не одно, а
множество значений полярного угла
ϕ
. Это множество можно записать в виде
()
0
2
kk
ϕϕ π=+ ∈
, где
0
ϕ
- одно из значений полярного угла
ϕ
. Для
самого же полюса О полярный угол вовсе не определён, или, выражаясь по дру-
гому, любое число можно считать его полярным углом.
Часто употребляют систему полярных координат, связанную с декарто-
выми координатами x, y, как показано на рис. 2: положительный луч оси Ox
берётся в качестве полярного луча. Тогда декартовы и полярные координаты
одной и той же точки оказываются связанными соотношениями
cos , sin
xr yr
ϕϕ==
, (1)
позволяющими легко находить декартовы координаты по полярным. Если же
надо найти r,
ϕ
по x, y, то следует поочередно воспользоваться очевидными
формулами
22
,cos ,sin
x
y
rxy
rr
ϕϕ=+ = =
. (2)
ПРИМЕР 1. На плоскости с декартовыми координатами ,xy написать в
полярных координатах уравнение окружности радиуса a с центром в начале
координат.
Решение. Совершенно очевидно, что искомое уравнение имеет вид
ra
=
. Это намного проще, чем уравнение той же окружности в декартовых
координатах:
222
xya+=
.
ПРИМЕР 2. Линия, имеющая в полярных координатах уравнение ra
ϕ=
,
называется спиралью Архимеда (рис. 3). С ростом
ϕ
она “разворачивается”, и r
стремится к бесконечности.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- …
- следующая ›
- последняя »
