Составители:
Рубрика:
164
Обратим внимание на то, что векторное произведение можно определить
только при задании ориентации в пространстве. При смене ориентации на про-
тивоположную, направление векторного произведения двух фиксированных
векторов также меняется на противоположное.
Отметим основные свойства векторного умножения.
1. 0xx
×=
.
2. yx xy
×=−×
(антикоммутативность векторного умножения).
3.
()()()
xyz xz yz
αβ α β
+×=×+×
, где и
αβ
−
числа (линейность век-
торного умножения по первому множителю).
Свойство 1 вытекает из того, что
()
sin , 0xx
=
. Свойство 2 – следствие
пункта (б) определения векторного произведения. Свойство 3 примем без дока-
зательства ввиду громоздкости последнего. Заметим сразу, что из 3 и 2 вытека-
ет линейность векторного произведения и по второму множителю:
( )()()
zx
y
zx zx
αβ α β
×+ =×+ ×
.
ПРИМЕР 1. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах
32, 2 ,
apqbpq
=+ =−
если
()
4, 3, , 3 / 4.
pq pq
π
== =
Решение. Из определения векторного произведения следует, что иско-
мая площадь есть
ab
×
. С помощью свойств 1
−
3 имеем:
( )( )()()()()
()
32 2 6 2 3 2
5
ab p q pq pp q p pq qq
pq
×= + × − = × + × − × − × =
=− ×
Тогда
()
32
5 5 sin , 5 4 3sin 60 30 2.
42
ab pq pq pq
π
×= ×= ⋅⋅ =⋅⋅ = =
Значит искомая площадь равна
30 2 .
Предположим теперь, что два вектора заданы своими координатами в ба-
зисе
,,
123
ee e
:
,
11 2 2 3 3
xxe xe xe
=+ +
.
11 2 2 3 3
yy
e
y
e
y
e
=+ +
Как вычислить координаты вектора xy
×
?
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- …
- следующая ›
- последняя »
