Составители:
Рубрика:
166
Решение. Ясно, что искомый вектор коллинеарен векторному произве-
дению
ab
×
, которое имеет, в силу формулы (2), координаты
{}
7, 5, 1−−−
. Сле-
довательно,
{}
7, 5,
xccc
−−−
, где с – число, которое легко определить,
подставляя x
в последнее условие задачи. Это даёт:
()()
75 2 7 10
123123
ce e e e e e
−++ +−=
,
или
()
71 52 1 7 10
c
−⋅+⋅+⋅−=
,
откуда
1
c
=−
и
{}
7, 5, 1
x
.
Введём ещё один вид умножения векторов. На этот раз пусть даны три
вектора
3
,,xyz V
∈
. Число
()
x
y
z
×⋅
называется смешанным произведени-
ем этих векторов и обозначается обычно символом
()
,,
x
y
z
.
Приведём основные свойства смешанного умножения.
1. Модуль смешанного произведения
()
,,
x
y
z
равен объёму параллелепи-
педа, построенного на векторах
,,
x
y
z
, отложенных от общего начала. Чис-
ло
()
,,
x
y
z
положительно или отрицательно в зависимости от того, поло-
жительно или отрицательно ориентирована тройка векторов
,,
x
y
z
.
2. Векторы
,,
x
y
z
линейно зависимы (компланарны) тогда и только то-
гда, когда
()
,, 0
xyz
=
.
3. В ортонормированном правом базисе смешанное произведение векто-
ров
()( )()
,, , ,, , ,,
123 12 3 123
xxxx yyyy zzzz
===
имеет вид:
()
,,
1 23 2 31 312 3 21 132 213
xyz xyz x yz xyz xyz xyz x yz
=++−−−
.
4. Смешанное умножение линейно по каждому множителю. Например,
()()()
,, ,, ,,
x
y
zu xzu
y
zu
αβ α β
+= +
.
5. При перестановке двух множителей смешанное произведение меняет
знак на противоположный:
()()()()
,, ,, ,, ,,
x
y
z
y
xz
y
zx xz
y
=− = =−
.
Все перечисленные свойства легко выводятся из определения смешанно-
го умножения. Мы оставляем их выводы читателю в качестве упражнений.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- …
- следующая ›
- последняя »
