Составители:
Рубрика:
171
Теорема 1. Определитель единичной матрицы равен единице:
10...0
01...0
1
.. .. ... ..
00...1
=
. (8)
Доказательство основано на последовательном применении формулы (7).
Теорема 2. Если поменять местами две строки определителя, он изменит
знак на противоположный.
Доказательство для n = 2 и n = 3 следует из формул (4), (5).
Переход от n = 3 к n = 4 и так далее получается опять-таки с помощью (7).
Следствие. Определитель, две строки которого совпадают, равен нулю.
В самом деле, обозначив такой определитель через D, сравним его с оп-
ределителем (– D), полученным перестановкой указанных в теореме строк. Это
даст
DD
=−
, откуда
0
D
=
.
Теорема 3. Пусть некоторая i-ая строка определителя D порядка n имеет
вид:
, , ...,
11 2 2
ab a b a b
i i i i in in
αβα β α β
++ +
, где
,
αβ
– числа. Тогда оп-
ределитель D имеет вид:
12
DD D
αβ
=+
, где D
1
, D
2
– определители, у кото-
рых i-ые строки равны соответственно
, , ...,
12
aa a
ii in
и
, , ...,
12
bb b
ii in
. Любая другая строка у всех трёх определителей D, D
1
,
D
2
одинакова.
Указанное свойство называется линейностью определителя по i-ой
строке. Например, линейность по первой строке записывается так:
...
11 11 12 12 1 1
...
21 22 2
.. .. ... ..
...
12
abab ab
nn
aa a
n
aa a
nn nn
αβαβ αβ
++ +
=
(9)
... ...
11 12 1 11 12 1
... ...
21 22 2 21 22 2
.. .. ... .. .. .. ... ..
... ...
12 12
aa a bb b
nn
aa a aa a
nn
aa a aa a
nn nn nn nn
αβ
=+
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- …
- следующая ›
- последняя »
