Составители:
Рубрика:
172
Доказательство. Формула (9) для первой строки сразу получается, ес-
ли воспользоваться определением (7). Линейность по любой другой строке по-
лучается из линейности по первой строке с помощью предыдущей теоремы.
Теорема 4. Если строки определителя линейно зависимы как векторы из
n
,
то определитель равен нулю.
Доказательство. Пусть, например, первая строка определителя матри-
цы (6) есть линейная комбинация остальных строк:
()()
11 12 1 1 2
2
n
aa a aa a
niiiin
i
α
=
∑
=
.
Пользуясь свойством линейности по первой строке, представим наш оп-
ределитель в виде
12
21 22 2
det
2
12
aa a
ii in
n
aa a
n
A
i
i
aa a
nn nn
α
=
∑
=
.
Каждый определитель в правой части содержит, очевидно, две одинако-
вых строки, и, следовательно, равен нулю. Поэтому det 0A
=
, что и требовалось
доказать.
Следствие 1. Определитель матрицы, строка которой состоит из ну-
лей, равен нулю.
Следствие 2. При добавлении к некоторой строке матрицы линейной
комбинации других её строк значение определителя не меняется.
Обоснование следствий предоставляется читателю.
Продолжим изучение свойств определителей. Пусть А – матрица размера
mn
×
:
...
11 12 1
...
21 22 2
.. .. ... ..
...
12
aa a
n
aa a
n
A
aa a
mm mn
=
. (10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- …
- следующая ›
- последняя »
