Составители:
Рубрика:
176
Теорема 7. Сумма произведений элементов некоторой строки определителя
на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки
равна нулю:
0,
1
n
aA i k
ij kj
j
=≠
∑
=
. (17)
(Доказать самостоятельно!)
Обсудим теперь вопрос о практическом вычислении конкретных опреде-
лителей. Если порядок определителя больше трёх, то у нас нет готовых формул
типа (2) или (3). Естественная мысль – воспользоваться рекуррентным опреде-
лением (7), последовательно понижая порядок подлежащих вычислению опре-
делителей.
Однако использование только рекуррентного определения может привес-
ти к катастрофически сложным вычислительным трудностям, особенно для оп-
ределителей высокого порядка.
Действительно, пусть порядок определителя равен n. Выражая его по оп-
ределению (7) через определители порядка n –1, получаем n слагаемых. Каждое
из них содержит определитель порядка n –1, разложение которого даёт, в свою
очередь, n –1 слагаемое. В результате выражение исходного определителя через
определители порядка n –2 даёт n (n–1) слагаемых. Если продолжать подоб-
ную процедуру понижения порядка до определителей 1-го порядка, т.е. чисел,
то получится сумма
n
! слагаемых. Каждое из них есть произведение n чисел.
Итого, для вычисления исходного определителя потребуется порядка n!
⋅
n
арифметических операций. Пусть, например, n = 20. Тогда компьютеру, выпол-
няющему миллион операций в секунду, потребуется более полутора миллионов
лет на вычисление определителя!
С другой стороны, приложения теории определителей зачастую требуют
вычисления определителей значительно большего порядка, чем 20. Поэтому,
прежде, чем применять определение (7), или, что сводится к тому же, разлагать
определитель по строке или столбцу, надо попытаться максимально упростить
его. А именно, с помощью полученных выше свойств надо преобразовать опре-
делитель так, чтобы как можно большее число его элементов стали нулями. То-
гда последующие разложения по строке или столбцу станут намного проще.
Поясним сказанное примерами.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- …
- следующая ›
- последняя »
