Составители:
Рубрика:
179
Если не все элементы этой матрицы равны нулю, то рангом этой мат-
рицы называется максимальный порядок её отличных от нуля миноров.
Например, если в матрице имеется минор 3-го порядка, отличный от ну-
ля, а все миноры порядка 4 и выше равны нулю, то ранг матрицы равен 3.
Если все элементы матрицы А – нули, то её ранг, по определению, равен
нулю.
Ранг матрицы А будем обозначать символом rang A.
Любой, не равный нулю, минор порядка, совпадающего с рангом rang A
матрицы А, называется базисным минором матрицы А. Строки (столбцы)
матрицы А, в которых расположен базисный минор, называются базисными
строками (столбцами) этой матрицы. Следующая теорема фактически даёт
ещё одно, эквивалентное предыдущему, определение ранга матрицы.
Теорема 1. Ранг
()
,
mn
-матрицы (1) совпадает с максимальным числом
её линейно независимых (как векторы из
n
) строк. Аналогичное утверждение
верно и для столбцов (как векторов из
m
). Тем самым максимальное число ли-
нейно независимых строк и максимальное число линейно независимых столбцов
матрицы совпадают.
Мы примем эту теорему без доказательства.
Как практически вычислить ранг конкретной матрицы? Рассмотрим, без
доказательств, два наиболее употребительных метода.
Метод окаймления. Пусть в матрице найден минор М порядка k, отлич-
ный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k +1)-го порядка, которые содержат
в себе (окаймляют) минор М. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен
k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор
(k +1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
ПРИМЕР 1. Методом окаймления найти ранг матрицы
21324
42517
21132
A
−−
=−
−
.
Первый же минор 1-го порядка этой матрицы, т.е. элемент а
11
= 2 не равен
нулю. Значит,
1
ran
g
A
≥
. Этот минор окаймляют следующие миноры 2-го по-
рядка:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- …
- следующая ›
- последняя »
