Составители:
Рубрика:
181
Переходим ко второму методу вычисления ранга матрицы
−
методу эле-
ментарных преобразований матрицы.
Назовём элементарными преобразованиями матрицы следующие опе-
рации:
а) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
б) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
в) прибавление к некоторой строке (столбцу) линейной комбинации дру-
гих строк (столбцов) матрицы.
Каждое из этих преобразований не меняет ранга матрицы. В самом деле,
ясно, что при любом элементарном преобразовании всякий ненулевой минор
матрицы остаётся ненулевым, а всякий нулевой – нулевым.
Дадим ещё одно определение: матрица называется диагональной, если
равны нулю все её элементы, кроме, быть может, диагональных элементов
а
11
, а
22
, а
33
, ... .
Так вот, элементарными преобразованиями можно привести всякую
матрицу (1) к диагональному виду, причём такому, что ненулевые элементы
главной диагонали будут единицами, расположенными в нескольких первых
строках матрицы.
Ясно, что у такой диагональной матрицы ранг равен числу упомянутых
единиц.
Поясним схему применения метода элементарных преобразований при-
мерами.
ПРИМЕР 3. Рассмотрим матрицу из примера 1 и вычислим её ранг ме-
тодом элементарных преобразований.
Поскольку каждое такое преобразование, не меняя ранга матрицы, меняет
саму матрицу, мы будем использовать в наших выкладках вместо знака равен-
ства между матрицами знак «~» (эквивалентность матриц в смысле равенства
их рангов).
Итак, вычтем из 1-ой строки данной матрицы 3-ю, после чего из 2-ой
строки вычтем удвоенную 3-ю, что даёт:
13,223
21324 00252
42517 00353
21132 21132
ая ая ая ая
A
−−⋅
−− −
=− −
−−
∼
.
Теперь прибавим к 1-му, 3-му, 4-му и 5-му столбцам 2-ой, умноженный соот-
ветственно на 2, 1, 3, 2; получим:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- …
- следующая ›
- последняя »
