Математика в нефтегазовом образовании: Выпуск 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Харин В.Т - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

184
вопрос другим способом, сравнивая ранги матрицы А и расширенной матрицы
А|Y системы (2). Напомним, что эти матрицы имеют вид (1) и
А|Y =
...
11 12 1 1
...
21 22 2 2
... ... ... ... ...
...
12
aa a
y
n
aa a
y
n
aa a
y
mm mnm







(3)
Теорема 2 (Кронекера – Капелли). Для совместности системы (2) необхо-
димо и достаточно, чтобы ранги матриц А и А|Y совпадали, т.е.
rang A = rang (А|Y). (4)
Доказательство. Запишем систему (2) в виде
...
11 2 2
xA x A x A Y
nn
+++=
(5)
где
11
22
; 1, 2,..., ;
... ...
a
y
i
a
y
i
AinY
i
a
y
mi m



== =




(6)
Если система (2) совместна, то вектор Y есть линейная комбинация векто-
ров
12
, ,..., .
n
AA A
Тем самым, все столбцы матрицы А|Y линейно выражаются
через базисные столбцы матрицы А, а значит эти последние являются базисны-
ми и для матрицы А|Y, т.е. имеет место равенство (4).
Обратно, пусть верно равенство (4). Тогда базисные столбцы матрицы А
являются базисными и для матрицы А|Y. Значит, столбец Y линейно выражается
через эти столбцы и, тем самым, через все столбцы матрицы А. Другими слова-
ми, существует набор чисел
()
, ,...,
12
xx x
n
такой, что верно равенство (5). Сис-
тема (2) совместна.
5.4.3. Крамеровские системы уравнений
Рассмотрим случай системы с квадратной матрицей
...
11 1 12 2 1 1
...
21 1 22 2 2 2
......
...
11 2 2
ax ax ax
y
nn
ax ax ax
y
nn
ax a x a x
y
nn nnnn
+++=
+++=
+++=
(7)

Страницы