Составители:
Рубрика:
186
5.4.4. Анализ линейной системы уравнений общего вида
Вернёмся к системе (2) и опишем алгоритм её исследования и решения,
используя понятия, введённые в этом разделе. При этом мы заново найдём и ре-
зультаты, полученные ранее методом Гаусса. Однако появятся и новые или бо-
лее удобные для приложений выводы.
Итак, исследование системы (2) естественно начать с вычисления рангов
матриц A и (А|Y). Если они различны, то система несовместна в силу теоремы
Кронекера–Капелли.
В случае выполнения условия (4) система совместна, и можно найти ба-
зисный минор М порядка r =rang A , общий для матриц A и (А|Y). Не ограничи-
вая общности, можно считать, что он расположен в левом верхнем углу матри-
цы А. В противном случае можно свести дело к этому, меняя местами уравне-
ния и меняя номера неизвестных. Таким образом, система (2) оказывается экви-
валентной следующей системе:
... ...
11 1 1 1, 1 1 1 1
... ...
21 1 2 2, 1 1 2 2
......
... ...
11 , 1 1
ax ax a x ax
y
rr r r nn
ax ax a x ax
y
rr r r nn
ax ax a x a x
y
rrrrrrrrnnr
++ =− −− +
++
++ =− −− +
++
++ =− −− +
++
(11)
Неизвестные
()
, ,...,
12
xx x
r
называются при этом связанными, а неиз-
вестные
()
,...,
1
xx
rn
+
– свободными.
Для любого набора свободных неизвестных система (11) решается с по-
мощью правила Крамера однозначно относительно связанных неизвестных:
1
,...,
1
MM
r
xx
r
MM
==
, где
()
1,...,Mj r
j
=
– определитель, получаемый из
М заменой j-го столбца столбцом
...
11
xA xAY
rr nn
−−−+
++
, в котором
1, 1
11
... , ..., ... , ...
11
,1
a
a
y
r
n
AAY
rr
aa
y
rr rn r
+
===
++
+
.
Используя теперь линейность определителя
j
M
по j – столбцу, приводим
(так, как это сделано в методе Гаусса) решение системы (2), соответствующее
заданному набору свободных неизвестных, к виду:
...
11 2 2
Xx B x B xB C
rr nnr
=+ ++ +
++ −
, (12)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- …
- следующая ›
- последняя »
