Составители:
Рубрика:
185
и предположим, что матрица системы невырождена, т.е. что
det 0
A
∆= ≠
(8)
Разумеется, такая система совместна, т.к. rang(А|Y) не может быть больше
rang A = n. Изложим метод решения такой системы, принадлежащий Крамеру,
из-за чего и системы вида (7), (8) часто называют крамеровскими.
Запишем систему (7) в виде
,1,2,...,
1
n
ax
y
in
ij j i
j
==
∑
=
, (9)
и пусть
()
, ,...,
12
xx x
n
– некоторое её решение. Фиксируем произвольно индекс
k, (k=1,2,…,n), и рассмотрим определитель
k
∆
, получающийся из
∆
заменой
его k-го столбца столбцом правых частей B. Заменив затем k-й столбец опреде-
лителя
k
∆
по формулам (9), придём к равенству
... ...
11 1 1
1
... ... ... ... ...
... ...
1
1
n
aaxa
jj
n
j
k
n
aaxa
nn
jj
nn
j
∑
=
∆=
∑
=
.
(k-й столбец)
Если использовать линейность определителя
k
∆
по k-му столбцу, то
предыдущее равенство приведётся к виду
... ...
11 1 1
... ... ... ... ...
1
... ...
1
aaa
j
n
n
x
kj
j
aaa
nn
j
nn
∆=
∑
=
(k-й столбец)
Слагаемые с индексами j ≠ k обратятся в ноль (почему?), а у слагаемого с j = k
определитель равен
∆
. Таким образом, получаем
x
kk
∆= ∆
. Поскольку наше
рассуждение справедливо при k =1,2,…,n, приходим к формулам Крамера для
вычисления единственного решения системы (7), (8):
12
, , ...,
12
n
xx x
n
∆
∆∆
== =
∆∆ ∆
(10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- …
- следующая ›
- последняя »
