Составители:
Рубрика:
190
Глава 6. Линейные операторы
6.1. Определения. Действия над линейными
операторами
Пусть даны векторные пространства F и G. Функция А, сопоставляю-
щая каждому вектору из F определённый вектор из G, называется линейным
оператором, действующим из F в G, если для любых векторов х и
x
′
из F и для
любых чисел
α
и
α
′
выполнено условие
()()()
'= +
Ax x Ax Ax
αα α α
′′′
+
(1)
Отметим сразу, что условие (1) эквивалентно совокупности двух условий:
- для любых х, x′ из F
()()()
=+
Ax x Ax Ax
′′
+
, (2)
- для любого х из F и любого числа α
A(αx) = αA(x) (3)
(Докажите эту эквивалентность!)
Укажем также, что, наряду с обозначением А(х) для значения оператора А
на векторе х употребляется обозначение без скобок: Ах.
Естественно, пространство F назвается областью определения опера-
тора А, а множество
(){ }
:, :
AF
yy
GxF
y
Ax=∈∃∈=
(4)
−
областью значений этого оператора.
ПРИМЕР 1. Функция, сопоставляющая любому
xF∈
нулевой вектор из
G, является линейным оператором, что очевидно из определения (1). Этот
оператор называется нулевым оператором, или оператором аннулирования
из F в G и обозначается символом О. Таким образом,
()
:0
xFOx G∀∈ = ∈
(5)
ПРИМЕР 2. Пусть F – векторное пространство. Функция I: F→F такая,
что
:
xFIxx∀∈ =
(6)
является линейным оператором.
Действительно, I(αx + α′x′) = αx + α′x′ = αIx + α′I x′, и (1) выполнено.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- …
- следующая ›
- последняя »
