Составители:
Рубрика:
193
Линейность операторов А+В и αА проверяется без труда:
()()()()
( )( )()()
()()()
()()() ()
''' '
',
.
A B x x A x x B x x Ax A x Bx Bx
Ax Bx A x Bx A B x A B x
Ax x Ax x Ax Ax
Ax Ay Ax Ax
αα αα αα α α α α
αα αα
β α α β α α βα βα
αβ α β αβ α β
′′′′′′′
++=+++=+++=
′′′ ′ ′
=++ +=+++
′′ ′′ ′ ′
+= += + =
′′′
=+ =+
В частном случае, когда F = G, вместо L (F, G) будем писать L (F) и назы-
вать это множество пространством линейных операторов в F.
Пусть теперь заданы три векторных пространства F ,G, Н и два линейных
оператора A: F → G, B: G → H. В этом случае определено произведение ВА опе-
раторов В и А:
() ()
:
x F BA x B Ax∀∈ =
(10)
Другими словами, ВА – это сложная функция, составленная из функций А и В.
Функция ВА есть линейный оператор, действующий из F в Н. В самом
деле, для любых х, x′ из F и α, β из R имеем:
(BA)(αx + β x′) = B(A(αx + β x′)) = B(αAx + β Ax′) =
= αB(Ax) + β B(Ax′) = α(BA)x + β(BA)x′
Отметим основные свойства операции умножения линейных операторов:
(AB)C = A(BC) (11)
α(BA) = (αB)A = B(αA)
(12)
(A + B)C = AC +BC (13)
A(B +C) = AB +AC
(14)
Каждое из этих равенств имеет место всякий раз, когда участвующие в
нём операторы определены.
Все равенства (11) – (14) доказываюся одинаковым способом, поэтому
ограничимся первым из них. Пусть даны операторы I: F→F, C: F→ G, B: G→ H
и A : H→ J, где F, G, H и J – некоторые векторные пространства. Сначала кон-
статируем, что (АВ)С и А(ВС) – это операторы из F в J. Для любого
xF∈
име-
ем: [(AB)C]x = (AB)Cx = A(B(Cx)) = [A(BC)]x, что и означает выполнение равен-
ства (11).
Важно не забывать, что умножение линейных операторов, вообще говоря,
некоммутативно. Действительно, если
()( )
,, ,
AFGBGH∈∈
, то произведение
BA: F→ H определено, а произведение АВ – нет.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- …
- следующая ›
- последняя »
