Составители:
Рубрика:
194
6.2. Линейные операторы в конечномерных
пространствах. Умножение матриц
Пусть F
n
и G
m
– векторные пространства конечных размерностей n и m
соответственно, и
()
,
nm
ALFG∈
. Выберем в F
n
базис
f
1
, f
2
,…, f
n
,
(1)
после чего любое
n
xF
∈
можно записать через координаты в этом базисе:
1
n
jj
j
xx
f
=
=
∑
(2)
При этом, в силу линейности оператора А, получим:
11
nn
jj j j
jj
Ax A x
f
xA
f
==
==
∑∑
(3)
Видно, что для задания линейного оператора A: F
n
→ G
m
достаточно задать
его значения на векторах некоторого базиса (1) пространства F
n
.
Теперь, наряду с базисом (1) пространства F
n
, зафиксируем какой-либо
базис
g
1
, g
2
,…, g
m
(4)
в пространстве G
m
. Разложим по нему каждый вектор
j
Af
, (j = 1, 2, …, n), т.е.
запишем:
1
m
jiji
i
A
f
a
g
=
=
∑
, (j = 1, 2,…, n) (5)
Коэффициенты
ij
a
этих разложений образуют (m,n)-матрицу, которая на-
зывается матрицей оператора А в базисах (1), (4). Она обозначается обычно той
же буквой, что и оператор:
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
=
(6)
Каждый j-ый столбец этой матрицы состоит из координат вектора Af
j
в
базисе (4).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- …
- следующая ›
- последняя »
