Составители:
Рубрика:
196
Формулы (8) или (9) дают координатное представление оператора А в
выбранных базисах.
ПРИМЕР 1. Матрица нулевого оператора O: F
n
→ G
m
в любых базисах –
это нулевая (m,n) – матрица.
В самом деле, каждый вектор базиса в F
n
переводится этим оператором в
нулевой вектор из G
m
. Поэтому каждый столбец матрицы состоит из нулей.
ПРИМЕР 2. Рассмотрим матрицу единичного оператора I: F
n
→ F
n
в не-
котором базисе (1) пространства F
n
( в данном случае другой базис (2) совпада-
ет с первым). Матрица I будет единичной (n,n) – матрицей.
Действительно, каждый базисный вектор f
j
имеет в базисе (1) только од-
ну ненулевую координату, равную единице, стоящую на j-ом месте. Значит, в j-
ом столбце матрицы I будет единица в j-ой строке. Все остальные элементы
этого столбца – нули.
ПРИМЕР 3. Матрицей какого оператора Λ ∈
L(F
n
) является диагональная
матрица:
1
2
0...0
0...0
... ... ... ...
00...
n
λ
λ
λ
Λ=
(10)
где
λ
1
, λ
2
,…, λ
n
– числа?
Из (8) ясно, что y
i
=
λ
n
x
i
(i = 1, 2, …, n), т.е. действие оператора
Λ
сво-
дится к «растяжению» каждой i-координаты любого вектора х в
λ
i
раз.
В случае
λ
1
=
λ
2
=…
=
λ
n
=
λ
оператор Λ оказывается просто оператором
гомотетии относительно начала отсчёта с коэффициентом
λ
.
ПРИМЕР 4. Найти матрицу оператора поворота векторов плоскости на
угол
ϕ
против часовой стрелки в декартовом правом базисе (рис. 1).
Введём полярный угол α произвольного вектора
x
G
. Непосредственно из
рис. 1 можно получить следующие соотношения:
() ()()
()()
1
1
12
cos cos cos sin sin
cos cos sin sin cos sin
yAx x x
xxxx
ϕα ϕ α ϕ α
αϕ αϕ ϕ ϕ
== += − =
=−=−
GG G
GG
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- …
- следующая ›
- последняя »
