Математика в нефтегазовом образовании: Выпуск 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Харин В.Т - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

198
произведения из матриц операторов - сомножителей?
Пусть имеются конечномерные пространства F
n
, G
m
, Н
р
и два линейных
оператора A: G
m
→ H
p
, B: F
n
→ G
m
. Зададим в F
n
, G
m
, Н
р
базисы
12
, ,...,
n
ff f
;
12
, ,...,
m
gg g
и
12
, ,...,
p
hh h
соответственно. Запишем матрицы операторов А и В
в данных базисах:
11 12 1
11 12 1
21 22 2
21 22 2
12
12
...
...
...
...
,
... ... ... ...
... ... ... ...
...
...
m
n
m
n
pp pm
mm mn
aa a
bb b
aa a
bb b
AB
aa a
bb b






==







(12)
Чтобы получить матрицу оператора
:
np
CABF H
=→
, вычислим его значение
на произвольном j-ом векторе базиса пространства F
n
:
()
()
11 11
p
mm m
j j kj k kj k kj ik i
kk ki
AB
f
AB
f
Ab
g
bA
g
bah
== ==

== = =


∑∑∑∑
, (j= 1, 2,…, n).
Изменяя порядок суммирования, заканчиваем выкладку:
()
11 1 1 1 1
pp p
mmm
j kj ik i kj ik i i ik kj
ki ik i k
AB
f
bah bah h ab
== = = = =
===
∑∑ ∑∑ ∑ ∑
, (j= 1, 2,…, n).
Результат перепишем в виде:
()
1
p
jiji
i
AB
f
ch
=
=
∑
, (j= 1,2,…,n) (13)
где
()
1
, 1, 2,..., ; 1,2,...,
m
ij ik kj
k
cabi p
j
n
=
===
∑
(14)
или, в развёрнутом виде:
11 2 2
...
ij i j i j im mj
cabab ab
=+ ++
(14′)
Итак, мы нашли матрицу С = А⋅В вида
()
pn×
оператора AB.
Можно сказать, что умножение операторов порождает операцию (14)
умножения матриц. Эту операцию часто называют умножением матриц по
правилу “строка на столбец”.
Действительно, чтобы получить элемент c
ij
, стоящий в i-ой строке и j-ом
столбце матрицы А⋅В надо перемножить i-ую строку матрицы А на j-ый столбец
матрицы В как скалярное произведение векторов в декартовых координатах.
Хотя понятие произведения операторов лежит в основе нашего определе-

Страницы