Составители:
Рубрика:
201
действующий в конечномерном пространстве F размерности n. Предположим,
что отображение пространства F на себя, осуществляемое этим операто-
ром, взаимно однозначно. Тогда существует обратная по отношению к А функ-
ция (обратный оператор)
A
–1
: F → F (2)
Оператор
1
A
−
линеен так же, как и А. Покажем это.
Пусть y, y′
∈
F и α, β
∈
R. В силу существования обратного оператора
найдутся x, x′
∈
F такие, что y = Ax, y′ = Ax′.
Имеем A(αx +βx′) = αAx +βAx′ = αy + βy′.
Следовательно, A
–1
A(αx + βx′) = A
–1
(αy + βy′), или αx + βx′ = A
–1
(αy + βy′), или
наконец α A
–1
y + β A
–1
y′ = A
–1
(αy + βy′), что и требовалось показать.
Если ввести в пространстве F базис и разложить по нему векторы х и у, то
операторное равенство (1) запишется в виде системы уравнений с матрицей
оператора А:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
...
...
...
...
nn
nn
nn nnnn
ax ax ax
y
ax ax ax
y
ax a x a x
y
+++=
+++=
+++=
(3)
Очевидно, существование обратного оператора A
–1
означает, что при лю-
бом наборе правых частей система (3) имеет единственное решение.
Это, в свою очередь, возможно только в том случае, когда матрица А сис-
темы (3) невырождена, т.е. имеет определитель, отличный от нуля:
det 0
A ≠
Таким образом, обратимость линейного оператора (1), осуществляюще-
го взаимно однозначное отображение F на F и невырожденность матрицы
этого оператора – факты эквивалентные.
Ясно, что невырожденная матрица обратимого оператора А и матрица об-
ратного ему оператора A
–1
удовлетворяют соотношениям
AA
–1
= A
–1
A = I (4)
где I: F → F – тождественный оператор.
Действительно, этим соотношениям удовлетворяют сами операторы А и
A
–1
, а умножению операторов соответствует умножение матриц.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- …
- следующая ›
- последняя »
