Составители:
Рубрика:
202
Мы видим, что задача обращения оператора естественным образом при-
водит к понятию обратной матрицы. Однако, это понятие можно ввести и фор-
мально, не упоминая теории операторов. Если имеется невырожденная мат-
рица
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
nn nn
aa a
aa a
aa a
(5)
то соответствующей обратной матрицей называется
()
nn×
-матрица A
–1
,
удовлетворяющая соотношениям (4).
Покажем, что для любой невырожденной матрицы (5) существует един-
ственная обратная матрица, и найдём явные выражения её элементов через эле-
менты матрицы А. Обозначим элементы искомой матрицы A
–1
через b
ij
(i,j = 1,
2,..., n). Тогда равенство AA
–1
= I примет вид
()
1
1,
, , 1, 2,..., ,
0,
n
ik kj ij
k
ij
ab i
j
n
ij
δ
=
=
== =
≠
∑
(6)
где δ
ij
– символ Кронекера. Зафиксировав в (6) значение индекса j, получим
систему уравнений относительно неизвестных b
1j
, b
2j
,…,b
nj
, т.е. для элементов
j-го столбца матрицы A
–1
. Решая эту систему по правилу Крамера, находим
det
k
kj
b
A
∆
=
, k = 1, 2,…, n (7)
Здесь ∆
k
– определитель матрицы, полученной из А после замены её k-го столб-
ца столбцом δ
i1
, δ
i2
,…, δ
in
. Раскладывая ∆
k
по k-му столбцу, получаем
,
1
n
kijikjk
i
AA
δ
=
∆= =
∑
где A
ik
– алгебраическое дополнение элемента a
jk
матрицы А. Таким образом,
, , 1, 2,...,
det
jk
kj
A
b
j
kn
A
==
(8)
Мы видим, что равенство AA
–1
= I однозначно определяет матрицу A
–1
как мат-
рицу из элементов (8) или, в развёрнутом виде:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- …
- следующая ›
- последняя »
