Составители:
Рубрика:
25
Если функция
()
f
x
определена в окрестности точки
0
x
(включая саму
эту точку) и
()
0
0
lim ( )
xx
f
x
f
x
→
=
, (5)
то эта функция
()
f
x
называется непрерывной в точке
0
x
.
Говоря геометрически, при приближении х вплотную к
0
x
график непре-
рывной в
0
x
функции
()
f
x
не только приближается вплотную к точке
00
(,())xfx
, но и включает в себя эту точку.
Следующие определения аналогичны соответствующим определениям
для числовых последовательностей.
Если
()
0
lim 0
xx
fx
→
∃=
, то функция
()
f
x
называется бесконечно малой
при
0
xx→
.
Функция
()
f
x
называется бесконечно большой при
0
xx→
, если
1
()
f
x
бесконечно мала при
0
xx→
. При этом пишут
()
0
0
lim или "() при "
xx
f
x
f
xxx
→
=∞ →∞ →
.
Как и в случае последовательностей, можно ввести понятия положительной и
отрицательной бесконечно малой или бесконечно большой функции. Основные
свойства предела функции в точке также аналогичны свойствам предела
числовой последовательности. Перечислим их, не приводя доказательств.
Теорема 1 (о единственности предела). Функция не может иметь более
одного предела в данной точке.
Теорема 2 (об ограниченности функции, имеющей предел). Если
0
() fx aпри xx→→
, то
()
f
x
ограничена при
0
xx→
.
Теорема 3 (о пределе суммы, произведения и отношения двух функ-
ций). Пусть функции
()
f
x
и
()
g
x
определены на выколотой
δ
-окрестности
точки x
0
, и при этом существуют пределы
()
0
lim
xx
f
x
→
и
()
0
lim
xx
g
x
→
, тогда:
() () () ()
000
lim lim lim
xx xx xx
f
x
g
x
f
x
g
x
→→→
∃+=+
(6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
