Составители:
Рубрика:
27
ПРИМЕР 5. Каждая функция
( 2,3, 4,...)
n
yx n
==
непрерывна в
любой точке числовой прямой в силу теоремы 3. Если использовать также при-
мер 3, приходим к выводу, что и каждый многочлен
0
()
п
k
n к
к
Px ax
=
=
∑
непрерывен в любой точке числовой оси. Далее, с помощью свойства (8) убеж-
даемся, что каждая рациональная дробь, т.е. отношение двух многочленов, не-
прерывна в любой точке числовой оси, кроме корней знаменателя, где она не
определена.
ПРИМЕР 6. Рассмотрим функции
sin
x
и
cos
x
. Из их геометрического
определения (с помощью тригонометрического круга) очевидно, что
0
lim sin 0 sin 0
x
x
→
==
;
0
lim cos 1 cos0
x
x
→
==
. Следовательно, синус и косинус не-
прерывны при
0
x
=
. Теперь займемся поведением этих функций при
0
xx→
,
где
0
x
– произвольное число. Имеем
()
00 0 00 0
sinsin()sincos()cossin()
xxxx xxx xxx
=+−= −+ −
.
Если
0n
xx→
, то
0
0, cos 1, s in 0
nn n n
zxx z z=−→ → →
. Поэтому
0
sin sinxx→
при
0
xx→
в силу (6), (7). Аналогично получаем
0
cos cosxx→
при х
→
х
0
.
Иначе говоря,
sin
x
и
cos
x
непрерывны в любой точке
. Функции
tg x
,
ctg x
непрерывны в своих областях определения по формуле (8).
ПРИМЕР 7. Рассмотрим функцию
sin
x
y
x
=
. (9)
Она определена при всех х, кроме х = 0. Выясним, как она себя ведет при
х
→
0. Формула (8) в данном случае ничего не дает, ибо и числитель, и знаме-
натель в (9) бесконечно малы при х
→
0 (неопределенность вида
0
0
). Чтобы
"раскрыть" неопределенность, рассмотрим рис. 2, где х – дуга ВС (или угол
ВОС) в радианах. Обозначим через S
c
площадь сектора ОВС. Очевидно,
S
OAB
< S
c
< S
ODC
или
111
sin cos tg
222
xxx x
⋅<<
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
