Составители:
Рубрика:
34
1.3. Свойства непрерывных функций
Что такое функция, непрерывная в некоторой точке своей области опре-
деления, мы узнали в предыдущем разделе.
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в
каждой точке этого множества.
Мы знаем, что непрерывность функции
()
f
x
в точке
0
x
означает, что
()
0
() ()
f
x
f
xx
α
=+
,
0
() 0 при xxx
α
→→
,
т.е. что
()
f
x
аппроксимируется в окрестности точки
0
x
числом
0
()fx
с абсо-
лютной ошибкой, стремящейся к нулю при
0
xx→
.
Теорема 1 (о непрерывности суммы, произведения и отношения).
Сумма и произведение двух непрерывных в некоторой точке функций
()
f
x
и
()
g
x
непрерывны в этой точке. Если, к тому же,
() 0
gx
≠
в указанной точке,
то и отношение
()
()
f
x
g
x
– непрерывная в этой точке функция.
Доказательство этой теоремы немедленно вытекает из аналогичной теоремы
для пределов при
0
xx→
.
Следствие. Свойство непрерывности в данной точке или на данном
множестве линейно: если
()
f
x
и
()
g
x
непрерывны, и
α
,
β
– числа, то функ-
ция
()
()
f
x
g
x
αβ
+
также непрерывна.
Теорема 2 (о непрерывности сложной функции).
Пусть даны функции
(): , ():
yf
xX Yz
gy
YZ
=→=→
, где
,,XYZ∈
. Если
()
f
x
непрерывна в точке
0
xX∈
, а
()
gy
непрерывна в точке
00
()yfx=
, то
сложная функция
()
() ():
hx
gf
xX Z
=→
непрерывна в точке х
0
.
Доказательство. Пусть
n
x
– последовательность точек из Х, сходящая-
ся к
0
x
. В силу непрерывности
()
f
x
в х
0
имеем
0
() ()
n
fx fx→
при
,( )
n
nfxY→∞ ∈
. В силу непрерывности
()
gy
в
00
()yfx=
имеем
()()
00
() () () ()
nn
hx
gf
x
gf
xhx
=→=
при
n
→∞
, что и требовалось.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
