Составители:
Рубрика:
36
ПРИМЕР 1. Рассмотрим общую степенную функцию
(
yx
α
α
=∈
– константа,
0
x
>
). (2)
Выше мы доказали ее непрерывность только при
n
α
=∈
, даже на всей
числовой оси (пример 4 из 1.2). Пусть теперь
1/
, ( )
n
yx n
=∈
. Эта функция
обратна по отношению к возрастающей непрерывной функции
n
x
y
=
на любом
замкнутом интервале положительной полуоси, поэтому и сама возрастает и
непрерывна на аналогичных интервалах в силу теоремы 3. Тем самым она не-
прерывна при любом
0
x
>
.
Пусть,
, ( , )
m
mn
n
α
=∈
. Тогда функция (2) имеет вид
(
)
1/
m
m
n
n
yx x
==
и по
теореме 2 оказывается непрерывной как сложная функция.
Если
(, )
m
mn
n
α
=− ∈
и
0
x
>
, то функция
/
1
m
n
mn
yx
x
−
==
непрерывна на
своей области определения как отношение непрерывных функций. Конечно, это
убывающая функция.
Таким образом, функция (2) непрерывна в своей области определения при
любом рациональном
α
. Если же
α
иррационально, то эта функция, строго
говоря, ещё не определена, т.е. неясно, что значит возвести число в иррацио-
нальную степень. Её определением мы, прежде всего, и займёмся.
Итак, пусть
α
>
0 иррационально, и
k
α
– последовательность его десятичных
приближений с недостатком. Положим сначала х > 1. Последовательность
к
x
α
не убывает и ограничена сверху, например, числом
1
1
x
α
+
. Поэтому, в силу
признака Вейерштрасса, существует предел этой последовательности, который
мы и называем значением
x
α
.
Если 0 < x < 1, то определение не меняется, просто последовательность
к
x
α
не
возрастает и ограничена снизу.
При
α
<
0 рассуждения аналогичны.
Наконец
11 1
к
α
α
==
.
Итак, для х > 0 и иррационального
α
существует число
lim
к
к
xx
α
α
→∞
=
, (3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
