Составители:
Рубрика:
37
где
α
к
– десятичные приближения числа
α
.
Отметим, что формула (3) пригодна не только для иррациональных, но и для
рациональных
α
.
Теперь легко доказать непрерывность функции (2) для иррационального
α
.
Пусть
[]
α
- целая часть числа
α
, т.е. максимальное целое число, не превос-
ходящее
α
. Сначала обоснуем непрерывность (2) при х = 1 и
α
> 0. Пуста
∆
х –
малое отклонение х от единицы. Имеем
()
[]
()()
[]
1
111 (0)
xxxx
ααα
+
+∆ ≤ +∆ ≤ +∆ ∆ >
()
[]
()()
[]
1
111 (0)
xxxx
ααα
+
+∆ ≤ +∆ ≤ +∆ ∆ <
.
В силу непрерывности степенной функции с целым показателем и теоремы о
полицейских, при переходе к пределу при
0
x
∆→
получим
()
11x
α
+∆ →
, что
и требовалось.
Если х
≠
1, то
()
1
x
xx x x
x
α
α
αα
∆
+∆ = + →
при
0
x
∆→
.
В случае
α
<
0 воспользуемся равенством
1/
xx
αα
−
=
. Таким образом,
любая степенная функция (2) непрерывна в своей области определения.
Заметим, что, используя этот факт и формулу (3) , легко распространить
правила действий над степенями с рациональными показателями на случаи ир-
рациональных показателей. Но мы не будем на этом останавливаться.
ПРИМЕР 2. Перейдём к показательной функции
(0, 1)
x
ya a a
=>≠
(4)
С её определением сложностей нет, т.к. мы уже умеем возводить любое
положительное число в любую действительную степень.
Покажем, что функция (4) непрерывна при каждом х. Пусть
n
xx→
. Для любо-
го
ε
>
0 найдётся десятичное приближение
к
x
числа х такое, что
к
x
x
aa
ε
−<
в
силу (3). С другой стороны, найдётся
0
n
такое, что при
0
nn≥
будет
n к
xxxx
−< −
а значит
n
x
x
aa
ε
−<
, что и требуется.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
