Составители:
Рубрика:
39
Поэтому с помощью теоремы о двух милиционерах получаем
1
1
x
e
x
+→
при
х
→
+
∞
. Пусть теперь х
→
–
∞
. Сделаем замену переменной, введя
1
y
x
=− −
.
Тогда у
→
+
∞
, и
111
111 1
y
x
ee
xyy
+=+⋅+→⋅=
.
Окончательно, получаем так называемый "второй замечательный предел":
1
lim 1
x
x
e
x
→∞
+=
(5)
ПРИМЕР 6. Если в формуле (5) сделать замену
1
t
x
=
, а затем переобо-
значить переменную t на x, получим еще один часто используемый вид записи
второго замечательного предела:
()
1
0
lim 1
x
x
xe
→
+=
(6)
ПРИМЕР 7 (экспонента и гиперболические функции). Среди показа-
тельных функций
x
ya=
в приложениях особенно часто используется функция
x
ye=
. (7)
Её иногда обозначают также
exp
y
x
=
и называют экспонентой
lnxxa
ya e==
,
или экспоненциальной функцией. Любая показательная функция выражается
через экспоненту следующим очевидным образом:
lnxxa
ya e==
. (8)
Следовательно, график функции (8) получается из графика экспоненты сжати-
ем в
ln
a
раз к оси y и, если
01
a
<<
, ещё и отражением в этой оси.
У экспоненты есть несколько близких родственников, называемых гипер-
болическими функциями. Они определяются так:
()
1
sh
2
xx
xee
−
=−
– гиперболический синус, (9)
()
1
ch
2
xx
xee
−
=+
– гиперболический косинус, (10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
