Составители:
Рубрика:
40
sh
th
ch
x
x
x
=
– гиперболический тангенс, (11)
ch
cth
sh
x
x
x
=
– гиперболический котангенс. (12)
Почему у этих функций названия, сходные с названиями тригонометрических
функций, и причём здесь слово “гиперболический”? Постепенно мы ответим на
эти вопросы.
Поскольку гиперболические функции весьма полезны при решении мно-
гих прикладных задач, желательно познакомиться с ними поближе.
Во-первых, отметим, что все они определены на всей числовой оси. За
исключением
cth
x
, который не существует при
0
x
=
.
Во вторых, как легко убедиться,
sh , th , cth
xx x
– функции нечётные, то-
гда как ch x – чётная функция:
() () () ()
sh sh , ch ch , th th , cth cth
xx xxxx x x
−=− −= −=− −=−
(13)
(уже начинает просматриваться аналогия с тригонометрическими функциями).
В-третьих, для гиперболических функций имеет место целый ряд
тождеств, в известном смысле также аналогичных тригонометрическим
тождествам. Выпишем основные из них:
22
ch sh 1,
xx
−=
(14)
sh 2 2sh ch ,
xxx
=⋅
(15)
22
ch 2 ch sh ,
xxx
=+
(16)
2
2th
th 2 ,
1th
x
x
x
=
+
(17)
()
sh sh ch ch sh ,
x
y
x
y
x
y
±= ⋅ ± ⋅
(18)
()
ch ch ch sh sh ,
x
y
x
y
x
y
±= ⋅ ± ⋅
(19)
()()
1
sh ch sh sh ,
2
x
y
x
y
x
y
⋅= ++ −
(20)
()()
1
sh sh ch ch ,
2
x
y
x
y
x
y
⋅= +− −
(21)
()()
1
ch ch ch ch .
2
x
y
x
y
x
y
⋅= ++ −
(22)
Эти формулы легко вытекают из определений (9) – (12). Докажем, например,
формулу (20):
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
