Составители:
Рубрика:
35
x
a
b
y
y(b)
y(a)
Напомним определения, известные, вообще-то, из школьного курса.
Функция
()
f
x
называется возрастающей на множестве Х, если из
12 1 2
,; xx X x x∈<
(1)
следует, что
12
() ( )fx fx<
. Если из (1) следует, что
12
() ( )fx fx>
, то функ-
ция
()
f
x
называется убывающей на Х. В обоих случаях говорят, что функция
()
f
x
строго монотонна на Х.
Если условия (1) обеспечивают лишь неравенство
12
() ( )fx fx≤
или
неравенство
12
() ( )fx fx≥
, то функция
()
f
x
называется, соответственно,
неубывающей или невозрастающей. В обоих случаях говорят, что она моно-
тонна на множестве Х.
Теорема 3 (о функции, обратной к строго монотонной).
Пусть функция
()
yy
x
=
, заданная на некотором интервале
[]
,
ab
, возрастает
на нем и непрерывна во всех его точках. Тогда существует обратная ей функ-
ция
()
xx
y
=
, определенная, возрастающая и непрерывная на интервале
[]
(), ()
y
a
y
b
. Утверждение остаётся в силе, если слова “возрастает”,
“возрастающая” заменить на “убывает”, “убывающая”.
Мы не будем приводить строгого доказательства этой теоремы. Ограни-
чимся ее геометрической очевидностью (рис. 1, для случая возрастания).
Непрерывная кривая на рисунке – это график функции
()
yy
x
=
, непрерывной
и возрастающей на
[]
,
ab
. Но она же является графиком обратной функции
()
xx
y
=
, если считать у – независимой, а х – зависимой переменными. Видно,
что заключения теоремы выполняются.
Рис. 1. К теореме 3.
y(b)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
