Составители:
Рубрика:
43
ПРИМЕР 9. Точка х = 0 для функции
sin
x
y
x
=
. Аналогичный разрыв
имеет функция
2
2
56
2
xx
y
xx
−+
=
−
в точке х = 2 , как читатель легко проверит.
II. Если не существует хотя бы один из односторонних пределов
0
(0)fx−
,
0
(0)fx+
, то
0
x
называется точкой разрыва второго рода функ-
ции
()
f
x
.
Если, к тому же,
()
f
x
неограничена при
0
xx→
, то говорят, что
0
x
есть точка
бесконечного разрыва функции
()
f
x
. При этом прямая
0
xx=
называется
вертикальной асимптотой графика функции
()
f
x
.
ПРИМЕР 10. Функции, изображённые на рис.4 из 1.2 имеют вертикаль-
ные асимптоты. То же можно сказать о функциях
tgyx=
(в точках
2
xn
π
π
=+
),
ctgyx=
(при
xn
π
=
) и
cth
y
x
=
(при
0
x
=
). Функция
1
sin
y
x
=
имеет при х = 0 разрыв второго рода (но не бесконечный). Проверьте!
Очень много применений имеет следующая теорема о непрерывных
функциях.
Теорема 4 (о функции, непрерывной на замкнутом интервале). Пусть
функция
()
yf
x
=
непрерывна на замкнутом интервале
[]
,
ab
. Тогда:
а)
()
f
x
ограничена на
[]
,
ab
и достигает на этом интервале своих наибольше-
го и наименьшего значений:
[] []
() ()
,: ,
ab x ab
ff
x
ξξ
∃∈ ∀∈ ≥
,
[] []
() ()
,: ,
ab x ab
ff
x
ηη
∃∈ ∀∈ ≤
.
б)
()
f
x
принимает на
[]
,
ab
любое значение, промежуточное между наи-
большим и наименьшим:
() ()
{}
[]
()
{}
,: .
f
c
f
xab
f
xc
ηξ
≤≤ ⇒∃∈ =
Мы не будем приводить строгого доказательства этой теоремы. Ограничимся
геометрическими пояснениями.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
